三角函數(shù)學(xué)習(xí)中的“有心插柳”

■周文國

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)之一，掌握好這部分知識顯得尤為重要，因此要在學(xué)習(xí)中做到“有心插柳”。

一、三角函數(shù)的求值問題

三角函數(shù)求值問題包含給角求值、給值求值、給值求角。給值求角是將問題轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值，給值求值的關(guān)鍵是結(jié)合條件和結(jié)論，合理拆分、配角，給值求角的關(guān)鍵是確定角的取值范圍。

例1 已知α，β為銳角求cos 2α與tan(α+)的β值。

解：由題意可得且α為銳角，由此解得，因此

解后反思：本題是利用平方關(guān)系、倍角公式、兩角和的正切公式和變角的方法求解的。

二、三角恒等式的證明問題

對于三角恒等式的證明，要通過適當(dāng)?shù)暮愕茸儞Q，消除等式兩端結(jié)構(gòu)上的差異，再選擇合適的方法進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化。

故原式成立。

解后反思：在三角恒等式的證明中，化繁為簡是化簡三角恒等式的一般原則，即由復(fù)雜到簡單，若兩邊都比較復(fù)雜，可采用左右歸一的方法。本題的證明用到了積化和差公式。

三、三角恒等變換中的函數(shù)思想

對于這類問題，要利用三角函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題，并解決問題。

例3 求函數(shù)y=(sinx+a)(cosx+a)的最大值和最小值，其中

解：由y=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2，可令則t2=1+2sinxcosx，所以所以函數(shù)

解后反思：解題時，要特別注意sinx+cosx的取值范圍。