一個代數(shù)問題解法探究與推廣

上海市七寶中學(xué)(201101) 李佳偉

上海師范大學(xué)(200235) 游佳樂

上海市浦東外國語學(xué)校東校(201206) 顧 鋒

1.試題呈現(xiàn)

2.解法探討

那么,除了純代數(shù)的解法,還有沒有其他方法呢?事實上,我們在上述解題過程中發(fā)現(xiàn):這可以看作(2,1)點在直線上,而根據(jù)我們可以聯(lián)想到直角三角形的周長.因此,題意可以轉(zhuǎn)化為:一條直線經(jīng)過(2,1)點(或者(1,2)點),與x軸正半軸、y軸正半軸相交,求圍成的三角形周長的最小值.基于如上分析,這里再介紹一種比較巧妙的解法:

圖1

解法二如圖1:A(1,2),?OPQ的斜邊PQ過A點,P(0,p),Q(q,0),⊙O1為?OPQ的旁切圓,與x軸相切于點M,與y軸相切于點N,與PQ相切于點I,O1點坐標(biāo)為(r,r),易知?OPQ的周長為且NP=PI,IQ=MQ,所以C?OPQ=OM+ON=2r,而O1A≥r,所以(r?1)2+(r?2)2≥r2,解得r≥ 5或r≤ 1(舍),所以(C?OPQ)min=2×5=10.

此外,我們還可以利用方程的思想解決這個問題:

當(dāng)然,本題還有許多其他的解法,有興趣的讀者可以不妨嘗試一下.

3.試題加強與推廣

根據(jù)第二種利用幾何意義的解法,筆者經(jīng)過一番研究,解決了更為一般的問題.

問題推廣1設(shè)直線PQ經(jīng)過點A(a,b),a＞0,b＞0,與x軸,y軸分別交于Q,P兩點,求?OPQ周長的最小值.

我們不妨利用同樣的方法嘗試下:條件與解法二一致,因此,只有最后的不等式與解法二不同:(r?a)2+(r?b)2≥r2,因此r2?(2a+2b)r+a2+b2≥0,因此可得或者r≤a+因此我們可以看到,當(dāng)a=1,b=2時,得到這與之前得到的結(jié)果是一致的.

若我們把條件中的a＞0,b＞0改成0,也就是說點A不一定在第一象限內(nèi),則可以利用對稱性得到更為一般的結(jié)論:因此我們最終得到一個結(jié)論:若直線PQ經(jīng)過點A(a,b)0,與x軸,y軸分別交于Q,P兩點,則?OPQ周長的最小值為

4.進一步推廣

問題推廣2設(shè)∠O＜180?,點A(a,b)在∠O內(nèi),直線PQ過點A交∠O的兩邊于P、Q兩點,求?OPQ周長的最小值.

圖2

圖3

我們可以采用與之前解法二類似的方法.如圖2,圓O1與∠O的兩邊相切于B、C,且過點A,點A在劣弧上,當(dāng)直線PQ與圓O1相切于點A時,?OPQ的周長最小.事實上,過點A作圓O1的割線交∠O的兩邊于P1、Q1,在上存在一條平行于P1Q1的圓O1的切線交∠O的兩邊于于P2、Q2切點為D.所以?POQ的周長

關(guān)于此類問題還可以從多個角度作進一步的探究,有興趣的讀者不妨嘗試一下.

5.總結(jié)

數(shù)學(xué)題目千千萬,要善于利用做過的題目,從中汲取有用的模型,有用的處理方法,有用的結(jié)論,建立題目之間的聯(lián)想系統(tǒng).新課標(biāo)提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中有數(shù)學(xué)建模和直觀想象,建立哪些模型?想象哪些方法和結(jié)論?建立命題聯(lián)想系統(tǒng)不失為一種好方法.

學(xué)生一直在解給定的題目,與解決問題相比,提出問題或許更為重要.在教學(xué)的過程中,我們要為學(xué)生提供微探究的機會,從給定的題目中提出新的問題,解決新的問題.在教學(xué)中不僅教會學(xué)生如何思考問題,還要幫助學(xué)生學(xué)會提出問題.