構(gòu)建幾何模型巧解函數(shù)最值問題

四川省成都市四川師范大學(xué)附屬中學(xué)(610061) 康 琳

一、構(gòu)建三角形模型

例1(2013年高考全國卷Ⅰ)若函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=?2對稱,則f(x)的最大值是____.

解觀察函數(shù)結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)x=±1是函數(shù)f(x)的兩個零點(diǎn),由函數(shù)圖像關(guān)于直線x=?2對稱得,x=?3,x=?5是函數(shù)f(x)的兩個零點(diǎn),即x=?3,x=?5是二次方程x2+ax+b=0的兩個根,由韋達(dá)定理可得a=8,b=15.f(x)=(1?x)(x+1)(x+3)(x+5),觀察結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)可以和海倫公式聯(lián)系起來.由函數(shù)圖像可知,f(x)取最大值時的x,x∈(?5,?3)或x∈(?1,1).不妨設(shè)x∈(?1,1),則 1?x,x+1,x+3,x+5均大于零,由(1?x)+(x+1)+(x+3)+(x+5)=2x+10=2p,所以p=x+5,得a=2,b=4,c=2x+4,因?yàn)閤∈(?1,1),所以 2x+4∈(2,6),構(gòu)造 ?ABC,∠ACB∈(0,π),BC=2,AC=4,易知當(dāng)時,S取最?ABC大值所以f(x)的最大值16.

評注這里借助了四項(xiàng)連乘的形式與海倫公式聯(lián)系,在滿足四項(xiàng)均為正的條件下,構(gòu)造三角形模型,利用幾何關(guān)系求最值[1].

二、構(gòu)建距離模型

例2求的最小值.

解設(shè)函數(shù)上任意一點(diǎn)函數(shù)f(x)=lnx,x＞0上任意一點(diǎn)N(a,lna),則原表達(dá)式構(gòu)建的幾何模型是點(diǎn)點(diǎn)距離|MN|與點(diǎn)M到x軸距離的和,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)是F(0,1),由拋物線定義可得,即求|MN|+|FM|?1的最小值.

如圖1所示,當(dāng)M,F,N共線且FM與函數(shù)f(x)在點(diǎn)N處的切線垂直時取得|MN|+|FM|?1的最小值,設(shè)N(x0,lnx0),切線斜率解得x=01,即|MN|+|FN|?1的最小值

圖1

評注被開方式的最高次數(shù)為2時,可以考慮構(gòu)建兩點(diǎn)之間的距離這個幾何模型,構(gòu)造幾何圖形求函數(shù)最值可以使運(yùn)算量大大減小,在教學(xué)中我們要重視求最值的方法的訓(xùn)練和提煉,但無須追求靈巧新奇,以常見的基本方法為主,相信熟能生巧,基本功扎實(shí)了,自然能夠得心應(yīng)手[2].

三、構(gòu)建圓模型

例3(2018年高考全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是___.

解f(x)=2sinx(1+cosx),設(shè)a=1+cosx,b=sinx,則(a?1)2+b2=1,A(a,b)是圓上任意一點(diǎn),它關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B(a,?b),2ab的最小值即為以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰?OAB的面積最大值兩倍的相反數(shù).易得當(dāng)?OAB是等邊三角形時,取得面積的最大值,1是其外接圓半徑,所以f(x)的最小值是

評注通過雙換元后,新的未知元滿足二次式的結(jié)構(gòu),考慮構(gòu)建圓模型,數(shù)形結(jié)合將函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為三角形面積的最值.

四、構(gòu)建橢圓模型

評注雙換元后,變元滿足的等量關(guān)系是橢圓方程,再用參數(shù)方程換元,轉(zhuǎn)化為函數(shù)研究最值[3];不管是用幾何法還是代數(shù)方法,或兼用兩種方法來描述,取決于哪種方法更加優(yōu)美,更加簡單,或更便于學(xué)生接受.

五、構(gòu)建雙曲線模型

例5求函數(shù)的最小值.

解令動點(diǎn)(μ,ν)的軌跡是雙曲線在第一象限(包括軸上一頂點(diǎn))的部分,原命題轉(zhuǎn)化為求μ?ν的最小值,當(dāng)平行直線與一象限的雙曲線相切時,取得最小值,易得f(x)的最小值為

評注二次式可以構(gòu)建三角形模型或者是二次曲線模型,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合方法的重要作用,它一方面體現(xiàn)了數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性,另一方面又體現(xiàn)了形的直觀性[4].

六、構(gòu)建拋物線模型

例6求函數(shù)的最大值.

解令則有y2=4(x?1),(x≥1,y≥0),動點(diǎn)(x,y)的軌跡是拋物線在第一象限(包括頂點(diǎn))的部分,由拋物線的參數(shù)方程原命題轉(zhuǎn)化為求y?x=?4t2+4t?1的最大值,易得f(x)的最大值為0.

評注根式換元后,得到含二次式和一次式的結(jié)構(gòu),構(gòu)建拋物線模型.

小結(jié)在解決問題過程中,對式子結(jié)構(gòu)的認(rèn)識、分析,或經(jīng)過換元后結(jié)構(gòu)的再認(rèn)識、分析,構(gòu)建特殊的幾何模型,代數(shù)問題幾何化,能提供更開闊的解題思路[5].