利用質(zhì)點(diǎn)系的“重心”求解線段間的比例

廣東省佛山市羅定邦中學(xué)(528300) 龍 宇

一、求質(zhì)點(diǎn)系的重心

在物理學(xué)科中,求三個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系的重心可以由以下方式獲得:設(shè)A,B,C點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1,m2,m3,這三點(diǎn)由有沒有質(zhì)量的線段兩兩相連.根據(jù)杠桿原理在AB線段上尋找AB的平衡點(diǎn)D,易知接下來由點(diǎn)D替代線段AB,且使得點(diǎn)D處的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m1+m2,在線段CD上再次使用杠桿原理,求得CD的平衡點(diǎn)E,可得由此得到的點(diǎn)E即為原A,B,C三點(diǎn)構(gòu)成圖形的重心.

受上面的啟發(fā),我們可以將該原理引入到數(shù)學(xué)中解決三角形以及三棱錐的邊的線段定比分點(diǎn)問題.

二、在平面中求解線段的比例

例1如圖1,在?ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,點(diǎn)D為BC上一點(diǎn),且DC=2BD,點(diǎn)E為AC上一點(diǎn),且AE=3EC,連接AD與BE,設(shè)交點(diǎn)為F,求的值.

圖1

分析該問題可以通過構(gòu)造向量求解,也可通過構(gòu)造輔助線利用三角形相似求解,但難度都較大,且不容易推廣.接下來,本文就通過上文中的找重心的方法求解.

解析通過給A,B,C三點(diǎn)處賦予質(zhì)量(連接的線段沒有質(zhì)量),使得點(diǎn)F為?ABC的重心.

由DC=2BD,結(jié)合杠桿原理,在點(diǎn)B處賦予質(zhì)量2,點(diǎn)C處賦予質(zhì)量1;

由AE=3EC,結(jié)合杠桿原理,再由點(diǎn)C處已經(jīng)賦予質(zhì)量1,點(diǎn)A處賦予質(zhì)量

由點(diǎn)D替代線段BC,且賦予點(diǎn)D的質(zhì)量為點(diǎn)B及點(diǎn)C的質(zhì)量之和為3.

在A,F,D中使用杠桿原理,則有同理可得

現(xiàn)將該結(jié)論推廣至一般情況.

圖2

問題1(一般提法)如圖2,在?ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,點(diǎn)D為BC上一點(diǎn),且BD:DC=m:n,點(diǎn)E為AC上一點(diǎn),且CE:EA=s:t,連接AD與BE,設(shè)交點(diǎn)為F,連接CF與AB交于點(diǎn)M,求的值.

解析仿照例1,通過賦予質(zhì)量,使得點(diǎn)F為?ABC的重心.

由題意可設(shè):B,C,A三點(diǎn)的質(zhì)量分別為在各條線段上運(yùn)用杠桿原理及可得:

根據(jù)問題1的結(jié)論,在圖2中出現(xiàn)了六條線段的比例,根據(jù)上文中找重心的方法,已知任意兩條線段的比例即可求得另外四條線段的比例關(guān)系.

三、在空間中求解線段的比例

現(xiàn)將該結(jié)論推廣至立體圖形:本文先介紹一下三棱錐重心的定義:三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)分別與其所對(duì)面(三角形)的重心的連線必相交于同一點(diǎn),稱該點(diǎn)為三棱錐的重心.若在三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)處各置相等的質(zhì)量,則這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心就是該三棱錐的重心處.

圖3

如圖3:在三棱錐A?BCD中,設(shè)點(diǎn)P為?BCD的重心,根據(jù)上面定理1,只需要確定兩條線段的比例,不妨設(shè)在?ACD還需一條線段的比例,不妨設(shè)

顯然可得B,P,N,K,A三五點(diǎn)共面,設(shè)AP與BK的交點(diǎn)為S,現(xiàn)通過給三棱錐A?BCD的四個(gè)頂點(diǎn)賦予質(zhì)量使得點(diǎn)S成為這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的重心.

根據(jù)賦予的質(zhì)量,我們可以求出該三棱錐中所有與之有關(guān)的線段的比例.例如:據(jù)題意,質(zhì)點(diǎn)P的質(zhì)量為在線段AP上利用杠桿原理可得:同理也可獲得其他線段的比例關(guān)系.對(duì)上面的證明過程充分理解后可知,與三角形相比,對(duì)于三棱錐而言,需要獲得三條線段的比例才可以求得其他線段的比例關(guān)系.

例2如圖4,設(shè)在三棱錐A?BCD中,點(diǎn)P為三棱錐內(nèi)部一點(diǎn),延長(zhǎng)AP與面BCD交于點(diǎn)M,延長(zhǎng)BP與面ACD交于點(diǎn)N,若延長(zhǎng)AN與CD的交點(diǎn)為T,且有CD=TD,延長(zhǎng)CP與面ABD交于R,求的值.

解析通過給四個(gè)頂點(diǎn)賦予質(zhì)量使得點(diǎn)P為三棱錐A?BCD的重心,由在點(diǎn)A,M處分別賦予質(zhì)量1,2,設(shè)點(diǎn)B處賦予的質(zhì)量為x,根據(jù)可得點(diǎn)N處賦予的質(zhì)量為3x;

圖4

由CD=TD,在C,D處同時(shí)賦予質(zhì)量y,根據(jù)質(zhì)量守恒的原則:點(diǎn)M的質(zhì)量代表面BCD的質(zhì)量可得:x+2y=2,同理點(diǎn)N的質(zhì)量代表面ACD的質(zhì)量可得:1+2y=3x.

由此可得點(diǎn)R處的質(zhì)量為利用杠桿原理,

根據(jù)此題的背景我們還提出如下的變式問題:在例2的背景下求(1)求的值?(2)設(shè)的值.

解析根據(jù)例2的解答過程,三棱錐P?ABD與三棱錐A?BCD同時(shí)選擇?ABD作為底面,由點(diǎn)C及點(diǎn)P分別向面所做的高為h1,h2.

對(duì)于第(2)問,參考文[1]及文[2],利用空間版的“奔馳定理”,即可將向量的系數(shù)比例轉(zhuǎn)化為各個(gè)小三棱錐的體積之比.空間版的“奔馳定理”是指:對(duì)任意三棱錐A?BCD,設(shè)三棱錐A?BCD內(nèi)一點(diǎn)P,若有

則有:

成立[2].根據(jù)例2及第(1)問的提示可得:

所以

同理這兩個(gè)問題也可遷移至前面關(guān)于平面的討論之中.