過(guò)焦點(diǎn)的阿基米德三角形的性質(zhì)及其在高考中的應(yīng)用

安徽省合肥市第一中學(xué)(230601) 谷留明

文[1]介紹了拋物線(xiàn)中阿基米德三角形—-圓錐曲線(xiàn)的弦與過(guò)弦端點(diǎn)的兩條切線(xiàn)所圍成的三角形的一些性質(zhì),在此基礎(chǔ)上,本問(wèn)探究圓錐曲線(xiàn)中過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)的阿基米德三角形的統(tǒng)一性質(zhì)及其逆定理,由此得出圓錐曲線(xiàn)在任意一點(diǎn)處或過(guò)準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)的作圖方法,并舉例說(shuō)明了這些性質(zhì)在解決近幾年相關(guān)高考題中的妙用.

1 性質(zhì)定理

性質(zhì)已知圓錐曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)為l,過(guò)l上一點(diǎn)P引曲線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,則直線(xiàn)PF垂直AB于F.

圖1

當(dāng)圓錐曲線(xiàn)C為雙曲線(xiàn)時(shí),如圖2,證明類(lèi)似,略.需注意的是,如圖3,對(duì)于l上的點(diǎn)P,當(dāng)且僅當(dāng)P在漸近線(xiàn)上時(shí),過(guò)P只能引雙曲線(xiàn)C的一條切線(xiàn).設(shè)切點(diǎn)為A,此時(shí)易證PF⊥AF于F.

圖2

圖3

圖4

若此性質(zhì)的條件和結(jié)論適當(dāng)逆過(guò)來(lái),命題也成立.

逆定理1已知過(guò)圓錐曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于點(diǎn)A和B,過(guò)F作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn),若垂線(xiàn)與F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)相交于點(diǎn)P,則直線(xiàn)PA,PB均為曲線(xiàn)C的切線(xiàn).

當(dāng)圓錐曲線(xiàn)C為雙曲線(xiàn)或拋物線(xiàn)時(shí),證明類(lèi)似,略.

逆定理2已知線(xiàn)段AB為圓錐曲線(xiàn)C的過(guò)焦點(diǎn)F的弦,若曲線(xiàn)C在A,B處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P必在焦點(diǎn)F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)上,且PF⊥AB.

當(dāng)m=0時(shí)，lAB⊥x軸,kPF=0,PF⊥AB;當(dāng)0 時(shí),

PF⊥AB.

當(dāng)圓錐曲線(xiàn)C為橢圓或雙曲線(xiàn)時(shí),證明類(lèi)似,略.

進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn),還有以下結(jié)論成立.

結(jié)論1已知拋物線(xiàn)C的弦AB過(guò)焦點(diǎn)F,拋物線(xiàn)C在A,B處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)P,則∠APB=90?.

結(jié)論2已知拋物線(xiàn)C的弦AB過(guò)焦點(diǎn)F,點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)上,且∠APB=90?,則PF⊥AB,且直線(xiàn)PA,PB均為拋物線(xiàn)C的切線(xiàn).

再根據(jù)逆定理1,可得直線(xiàn)PA,PB均為拋物線(xiàn)C的切線(xiàn).

2 切線(xiàn)作圖

由性質(zhì)2,可以得到圓錐曲線(xiàn)在任意一點(diǎn)A處,或者過(guò)準(zhǔn)線(xiàn)l上任意一點(diǎn)P的切線(xiàn)的作圖方法.

2.1 作圓錐曲線(xiàn)C在任意一點(diǎn)A處的切線(xiàn)(設(shè)C的一個(gè)焦點(diǎn)為F,其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)為l):

(1)連接AF;

(2)過(guò)F作AF的垂線(xiàn),交l于點(diǎn)P;

(3)連接P和A,直線(xiàn)PA即為圓錐曲線(xiàn)C在點(diǎn)A處的切線(xiàn).

2.2 作圓錐曲線(xiàn)C的過(guò)準(zhǔn)線(xiàn)l上任意一點(diǎn)P的切線(xiàn)(設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)l對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)為F):

(1)連接PF;

(2)過(guò)F作PF的垂線(xiàn),作出垂線(xiàn)與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)(一個(gè)或者兩個(gè));

(3)連接P和交點(diǎn),所得直線(xiàn)(一條或者兩條)即為圓錐曲線(xiàn)C過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn).

3 考題妙解

例1(2018年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第16題)已知點(diǎn)M(?1,1)和拋物線(xiàn)C:y2=4x,過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)與C交于A,B兩點(diǎn).若∠AMB=90?,則k=____.

分析本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的相交關(guān)系,考查數(shù)學(xué)結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸思想,考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).其基本思路是:設(shè)過(guò)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為y=k(x?1),將它與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立、消y,可得k2x2?2(k2+2)x+k2=0,由此表示出x1+x2,x1x2,再結(jié)合直線(xiàn)方程表示出y1+y2,y1y2,代入整理可求出k.此法的計(jì)算量大而易出錯(cuò).

而根據(jù)結(jié)論2,設(shè)C的焦點(diǎn)為F,則MF⊥AB.所以輕松得解k=2.

例2(2019年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第21題第(1)問(wèn))已知曲線(xiàn)D為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)D作C的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為A,B.(1)證明：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn).

分析由性質(zhì)定理直接可知,定點(diǎn)為C的焦點(diǎn).證明方法既可以用上文中性質(zhì)定理的證明方法,也可以直接驗(yàn)證C的焦點(diǎn)坐標(biāo)恒符合直線(xiàn)AB的方程.

若對(duì)性質(zhì)定理中的條件進(jìn)行推廣,比如過(guò)與圓錐曲線(xiàn)C相離的直線(xiàn)l上任一點(diǎn),甚至過(guò)圓錐曲線(xiàn)C外任一點(diǎn),引曲線(xiàn)C的兩條切線(xiàn),又會(huì)有何規(guī)律與結(jié)論呢?可進(jìn)行更深的研究.