解三角形中求最值方法的探究

貴州省貴陽市花溪區(qū)溪南高中 楊昌舉

在三角形中,求某些不確定量(式)的取值范圍或最值,是高考中常見題型,歸納起來主要體現(xiàn)在:求角、邊、周長(zhǎng)、面積的范圍或最值.這類題型知識(shí)能力的要求高、難度大,不僅要求學(xué)生要具備靈活運(yùn)用正(余)弦定理的準(zhǔn)確計(jì)算能力,而且更要求學(xué)生要有較強(qiáng)的觀察、理解、分析與推理的思維演變能力.因此要解決此類問題,首先要充分掌握三角形中所存在的等量關(guān)系,比如,A+B+C=π,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(其中R為三角形的外接圓半徑),c2=a2+b2?2abcosC;以及一些不等關(guān)系,比如,|a?b|＜c＜a+b,0＜A＜π,0＜A+B＜π,特別當(dāng)?ABC為銳角三角形時(shí),a2+b2＞c2等;同時(shí)結(jié)合題設(shè)條件把所求問題進(jìn)行合情推理、恒等變換(邊化角,角化邊),并從中尋找出引起不定量變化的參變量,再充分利用不等式相關(guān)性質(zhì)、三角函數(shù)的有界性等,求出相關(guān)不定量(式)的最值或取值范圍,進(jìn)而厘清問題的本質(zhì).本文就對(duì)求角、邊、周長(zhǎng)、面積等的取值范圍或最值的思維方法、分析方法和解決方法作簡(jiǎn)單的探究和歸納.

一、角的范圍或最值

“角”是研究三角函數(shù)的核心,三角函數(shù)的取值范圍與角的大小緊密關(guān)聯(lián),所以研究三角形中的“角”的取值范圍或最值可借助三角函數(shù)的有界性,或利用正(余)弦定理把三角轉(zhuǎn)換成邊,再結(jié)合不等式的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解.

二、邊的范圍或最值

正(余)弦定理告訴了三角形中邊與角相互轉(zhuǎn)換的規(guī)律,這就凸顯了正(余)弦定理的本質(zhì)所在,因此研究和探討邊的取值范圍或最值時(shí),充分抓住邊與角兩元素的各自的特點(diǎn),利用正(余)弦定理進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換,問題就可以迎刃而解.

例2已知?ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足若a+b=2,則c的取值范圍是____.

分析該題條件是邊與角混合關(guān)系式,從結(jié)構(gòu)上看,先用余弦定理進(jìn)行恒等變換,可得等式為2cosC(acosB+bcosA)=c,再利用正弦定理得cosC=即所以由余弦定理得c2=a2+b2?2abcosC=(a+b)2?3ab,結(jié)合題設(shè)條件a+b=2和均值不等式可得ab≤1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立,所以c2≥1,即c≥1,又由三角形ABC中的不等關(guān)系知:c＜a+b=2,從而可得:1≤c＜2,即得c的取值范圍是:[1,2).

三、周長(zhǎng)的范圍或最值

三角形周長(zhǎng)問題可看作是邊長(zhǎng)問題的延伸,所以在解決周長(zhǎng)相關(guān)問題時(shí),可以類同求邊長(zhǎng)的取值范圍和最值的方法進(jìn)行求解,即利用正(余)弦定理把邊轉(zhuǎn)化成三角,或三角轉(zhuǎn)化成邊,把所求周長(zhǎng)問題化為一元三角函數(shù)式或可利用均值不等式求出最值或取值范圍.

例3?ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

(1)求角A的大小;

(2)若a=2,求?ABC的周長(zhǎng)的最大值.

四、面積的范圍與最值

三角形的面積問題是邊長(zhǎng)與角問題的綜合,解題中既要考慮邊的變化,也要考慮相關(guān)角的變化,通常是利用面積公式,將其轉(zhuǎn)化為同一類元素,然后利用三角函數(shù)的有界性或者實(shí)數(shù)的不等關(guān)系求解.

例4如圖1,在平面四邊形ABCD中,AD=2,CD=4,?ABC為等邊三角形,則三角形BCD面積的最大值是___.

圖1

分析由題設(shè)條件知:要求?BCD的面積最大值,首先需結(jié)合已知條件尋求引起?BCD面積變化的參變量.在三角形BCD中,CD為定值,結(jié)合圖形和已知條件,易知,等邊?ABC邊長(zhǎng)的變化,則引起∠ADB的變化,從而?BCD的面積就發(fā)生改變.

五、與其它知識(shí)點(diǎn)交匯的最值問題

研究三角形的對(duì)象主要是邊、角和面積,其中邊與角是研究問題的主體,且這些對(duì)象都是以實(shí)數(shù)大小體現(xiàn)出來,所以它們可以與其它知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行交匯,如向量、數(shù)列、不等式等等,解題時(shí)要綜合運(yùn)用這些知識(shí)和相關(guān)方法,靈活處理.

綜上所述,我們不難發(fā)現(xiàn):求三角形中不定量(式)的取值范圍或最值,掌握正(余)弦定理的“本”(邊化角,角化邊)是解決問題的前提條件,能充分而又正確運(yùn)用正(余)弦定理的“本”去實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互換是解決問題所必須具備的能力,而問題能解決的關(guān)鍵是在正確運(yùn)用正(余)弦定理的“本”的基礎(chǔ)上合理運(yùn)用不等式思想和三角函數(shù)思想,并通過利用不等式的性質(zhì)(均值不等式等)和三角函數(shù)的有界性求出所求問題的結(jié)論.