例談“等”與“不等”的辯證轉(zhuǎn)化

江蘇省海安市實驗中學(xué) (226600) 劉國華

在現(xiàn)實世界中，等量關(guān)系和不等量關(guān)系是普遍存在的，它們既對立又統(tǒng)一，可以相互轉(zhuǎn)化.在數(shù)學(xué)解題中相等與不等是矛盾的兩個方面，在一定的條件下相等可以看著是不等的臨界點，而不等是相等的進一步延伸和拓展，根據(jù)題目中的信息適時進行相等與不等的機智轉(zhuǎn)化，可快速打開解題的通道或簡化解題過程，本文剖析幾個典型題目，供參考.

1.相等問題不等解

在一些題目中給出了等式條件，需要解決范圍、值域等不等問題，這需要將已知等式向不等式轉(zhuǎn)化，常用的轉(zhuǎn)化手段是利用基本不等式和二次方程根的判別式.

例1 若正實數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，求ab與a+b的取值范圍.

評析：本題是運用基本不等式轉(zhuǎn)化解題典型例子，由a、b是正實數(shù)可聯(lián)想到它是運用基本不等式先決條件，而后續(xù)的解不等式則是求范圍的常規(guī)手段.

評析：本題是已知最大值求相關(guān)參數(shù)的值，從給出的等式條件中求出x+y的最大值是解題的關(guān)鍵，基本不等式的運用為問題的解決提供了重要保障.

例3 設(shè)x、y、z都是實數(shù)且滿足條件x+y+z=0和xyz=2，求|x|+|y|+|z|的最小值.

|x|+|y|+|z|的最小值為4.

評析：本題抓住所給的兩個等式條件，利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造了一個一元二次方程，運用二次方程根的判別式得到了某個未知數(shù)的范圍，順利地將相等條件轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系.

例4 已知p、q都是實數(shù)且滿足p3+q3=2，求p+q的最大值.

評析：通過設(shè)參數(shù)s，利用已知條件將p+q與pq同時由s來表示，為構(gòu)造一元二次方程、運用根的判別式解題提供了先決條件.

2.不等問題相等解

在一些不等式題目中，如果考慮到函數(shù)、方程、不等式是三位一體的，就可以從函數(shù)圖象的分析和方程根的討論為突破口，從而使破題思路開闊、解題方法靈活.

圖1

評析：本題是介紹了解高次不等式的一種方法，解題要點是：①將不等式一邊變?yōu)?，另一邊分解因式并整理成(x-x1)(x-x2)…(x-xn)的形式；②構(gòu)造對應(yīng)的方程，求出方程的根；③在數(shù)軸上標出各個根，并根據(jù)各個因式的符號畫出各段的符號，最后得到不等式的解.

例7 已知|a|<1，|b|<1,，|c|<1，求證：ab+bc+ac+1>0.

解析：設(shè)x=a，則有一次函數(shù)f(x)=bx+bc+cx+1=(b+c)x+bc+1，∵|b|<1，|c|<1，|a|<1，即x∈(-1,1)，由于f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>0，f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)>0，就是說一次函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1在x∈(-1,1)的圖象位于x軸上方，∴(b+c)a+bc+1>0，即ab+bc+ac+1>0.

評析：在題目中沒有函數(shù)的影子，但通過設(shè)x=a(也可以設(shè)x=b或x=c)就將已知條件集中到一次函數(shù)問題中了，然后再對所給的范圍進行分析，結(jié)合函數(shù)圖象的位置就使問題獲得了圓滿的解決.

例8 若p∈R且|p|<2，不等式(log2x)2+plog2x+1>2log2x+p恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

評析：本題運用變換主元的方法構(gòu)造了一個一次函數(shù)，改變了原來問題的結(jié)構(gòu)和設(shè)問方式，通過研究函數(shù)圖象的走勢得到不等式組，將原問題轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的形式.

以上舉例介紹了解決不等式問題的變換方式，通過“等”與“不等”的及時轉(zhuǎn)化，改變了問題的結(jié)構(gòu)，把不熟悉的變?yōu)槌Ｒ姷?，把?fù)雜問題變?yōu)楹唵涡问剑瑸閱栴}的破解或解題過程的簡化創(chuàng)造了條件.