例談均值不等式的破解方法

江蘇省石莊高級(jí)中學(xué) (226531) 沈世金

應(yīng)用均值不等式求函數(shù)最值時(shí)，需要滿足“正”“定”“等”三個(gè)條件，其中“正”“定”兩個(gè)條件可通過(guò)構(gòu)造來(lái)實(shí)現(xiàn)，若等號(hào)成立的條件不能取到，則需要另辟解題途徑.基于此本文給出破解此類問(wèn)題的方法.

對(duì)于不滿足前兩個(gè)條件的函數(shù)最值問(wèn)題，我們可通過(guò)拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)等變形方式，構(gòu)造出“正”或“定值”的條件，但如果等號(hào)成立的條件取不到，就需要重新選擇求最值的方法了.

一、例題分析

例1 在下列函數(shù)中，y的最小值為4的是( ).

二、解法探究

那么對(duì)于選項(xiàng)B、D中的函數(shù)，最值該如何求解呢？下面我們就以選項(xiàng)B中的函數(shù)為例，給出幾種處理辦法，供同學(xué)們參考.

(1)利用“對(duì)號(hào)”函數(shù)的性質(zhì)求解.

圖1

從形式上來(lái)看，“對(duì)號(hào)”函數(shù)與均值不等式之間關(guān)系密切，因此當(dāng)利用均值不等式求最值時(shí)，若等號(hào)的條件取不到，則可借助“對(duì)號(hào)”函數(shù)性質(zhì).

(2)利用幾何法求解.

對(duì)于分式型函數(shù)的值域問(wèn)題，可利用其與斜率的相似關(guān)系，構(gòu)造直線斜率的形式，進(jìn)而從形上來(lái)尋找思路.

圖2

(3)構(gòu)造二次函數(shù)，利用配方法求解

配方法是求函數(shù)值域問(wèn)題的重要方法，若根據(jù)所給的函數(shù)類型，能夠構(gòu)造出二次函數(shù)，則可利用配方法求解.

(4)利用導(dǎo)數(shù)法求解

導(dǎo)數(shù)法是判斷函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)最值的重要方法，特別是較復(fù)雜函數(shù)的值域問(wèn)題.

(5)利用方程有解來(lái)判斷