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    例談均值不等式的破解方法

    2020-05-13 13:50:54江蘇省石莊高級(jí)中學(xué)226531沈世金
    關(guān)鍵詞:值域斜率最值

    江蘇省石莊高級(jí)中學(xué) (226531) 沈世金

    應(yīng)用均值不等式求函數(shù)最值時(shí),需要滿足“正”“定”“等”三個(gè)條件,其中“正”“定”兩個(gè)條件可通過(guò)構(gòu)造來(lái)實(shí)現(xiàn),若等號(hào)成立的條件不能取到,則需要另辟解題途徑.基于此本文給出破解此類問(wèn)題的方法.

    對(duì)于不滿足前兩個(gè)條件的函數(shù)最值問(wèn)題,我們可通過(guò)拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)等變形方式,構(gòu)造出“正”或“定值”的條件,但如果等號(hào)成立的條件取不到,就需要重新選擇求最值的方法了.

    一、例題分析

    例1 在下列函數(shù)中,y的最小值為4的是( ).

    二、解法探究

    那么對(duì)于選項(xiàng)B、D中的函數(shù),最值該如何求解呢?下面我們就以選項(xiàng)B中的函數(shù)為例,給出幾種處理辦法,供同學(xué)們參考.

    (1)利用“對(duì)號(hào)”函數(shù)的性質(zhì)求解.

    圖1

    從形式上來(lái)看,“對(duì)號(hào)”函數(shù)與均值不等式之間關(guān)系密切,因此當(dāng)利用均值不等式求最值時(shí),若等號(hào)的條件取不到,則可借助“對(duì)號(hào)”函數(shù)性質(zhì).

    (2)利用幾何法求解.

    對(duì)于分式型函數(shù)的值域問(wèn)題,可利用其與斜率的相似關(guān)系,構(gòu)造直線斜率的形式,進(jìn)而從形上來(lái)尋找思路.

    圖2

    (3)構(gòu)造二次函數(shù),利用配方法求解

    配方法是求函數(shù)值域問(wèn)題的重要方法,若根據(jù)所給的函數(shù)類型,能夠構(gòu)造出二次函數(shù),則可利用配方法求解.

    (4)利用導(dǎo)數(shù)法求解

    導(dǎo)數(shù)法是判斷函數(shù)單調(diào)性,求函數(shù)最值的重要方法,特別是較復(fù)雜函數(shù)的值域問(wèn)題.

    (5)利用方程有解來(lái)判斷

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