2019年全國Ⅲ卷理科15題的多解及推廣*

廣東華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (510631) 蔣紅珠四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100) 劉成龍四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (610068) 紀(jì)定春

一、問題再現(xiàn)

二、問題解決

問題解決常常被看作是能動的、不斷發(fā)展的過程，是數(shù)學(xué)思維不斷數(shù)學(xué)化的過程，是一個探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的過程．[1]從不同角度解決問題，有助于學(xué)生多角度認(rèn)識問題，發(fā)展求異思維．

點評：分析1對應(yīng)的是最簡單的方法，也是最容易想到的辦法，分析2對應(yīng)的方法有助于深入思考問題．

三、問題推廣

張景中院士指出：“推廣是數(shù)學(xué)研究中極其重要的手段之一，數(shù)學(xué)自身的發(fā)展在很大程度上依賴于推廣．?dāng)?shù)學(xué)家總是在已有知識的基礎(chǔ)上，向未知的領(lǐng)域擴(kuò)展，從實際的概念及問題推廣出各式各樣的新概念、新問題．”[2]

分析1:將問題推廣到一般方程．

分析2:如果點M為橢圓C上一點且在第二、三、四象限，問題的結(jié)果又會怎樣變化呢？

(3)基坑開挖過程中，樁間土體流坍。現(xiàn)場踏勘情況表明，隧道下部地層為中砂，在基坑開挖中有樁間土體流失現(xiàn)象發(fā)生，致使隧道側(cè)面及基底地層損失和漏空，進(jìn)一步影響了隧道結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)。

分析3:如果長軸在y軸上，結(jié)果又會怎樣變化呢？

分析4:問題的背景為雙曲線，結(jié)果又將如何變化呢？

|F1F2|=|MF2|為等腰三角形，則M的縱坐標(biāo)為

點評：立足成立條件、結(jié)構(gòu)及解決方法將原問題進(jìn)行推廣，對培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題有積極意義．