一道平面向量題解法探究

浙江省麗水中學(xué) (323000) 羅賢旭

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，也是高考重要考點(diǎn)之一.縱觀浙江省近幾年的平面向量題，難度都比較大，是小題當(dāng)中考察學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要題型.筆者將從平面向量的內(nèi)容分析和解題策略兩方面談一點(diǎn)自己的想法.

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)知識(shí)之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具，他可以將幾何中的全等和平行，相似，垂直，勾股定理轉(zhuǎn)化為向量的加減運(yùn)算，數(shù)乘運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，所以他是溝通代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的重要橋梁.向量有三種主要形式：符號(hào)形式，坐標(biāo)形式，幾何形式；符號(hào)形式與坐標(biāo)形式反映了向量的數(shù)字抽象化，幾何形式反映了向量的圖形直觀.所以解決向量問題可以有代數(shù)與幾何兩個(gè)視角.

1.解題策略探究

點(diǎn)評(píng):坐標(biāo)法是將平面向量數(shù)量化的具體形式，簡化了向量題分析過程與運(yùn)算過程，只要建立合理的坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算得到解題結(jié)果的過程.所以坐標(biāo)法是解決向量問題最基本的方法.問題是學(xué)生認(rèn)為只有出現(xiàn)矩形或者垂直這樣的圖形才可以建系，或者是建系后點(diǎn)的坐標(biāo)是固定不變的，這種想法是不正確的，其實(shí)有很多問題建系后點(diǎn)的坐標(biāo)參數(shù)比較多，但是通過處理完全可以解題.

(ⅰ)|(cosα+2)cosβ+sinαsinβ|≤

4|sinαsinβ|+4|cosαcosβ|≤m2+6，即

圖1

點(diǎn)評(píng)：平面向量基本定理是將平面向量量化的一種重要手段，他與向量在正交分解下的坐標(biāo)表示是一脈相承的，而且平面向量基本定理適用的范圍更廣，是平面向量的精髓.等高線是在平面向量基本定理的理論基礎(chǔ)上衍生出的二級(jí)結(jié)論，是確定這一類動(dòng)點(diǎn)軌跡的捷徑.

圖2

解法四：我們對(duì)條件的系數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)奶幚恚?/p>

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造系數(shù)和為1得到動(dòng)點(diǎn)軌跡，解法簡便，學(xué)生容易理解.

點(diǎn)評(píng):很多數(shù)學(xué)題都是在一些結(jié)論的背景下命制的，高中階段掌握一些二級(jí)結(jié)論，就會(huì)減少推導(dǎo)的過程，簡化計(jì)算，讓解題站在性質(zhì)或者是結(jié)論的肩膀上，解題之路必然能越走越遠(yuǎn)，越走越深.

2.一點(diǎn)反思

平面向量對(duì)學(xué)生而言之所以難，是難在向量的本質(zhì)，向量是自由的，是可以任意移動(dòng)的，所以動(dòng)態(tài)性很強(qiáng).在解決動(dòng)態(tài)向量問題的時(shí)候，比如轉(zhuǎn)化基底、坐標(biāo)、投影、等高線、極化恒等式等一些常用的方法要有所儲(chǔ)備，而且不同的題型適用什么樣的方法是我們需要教給學(xué)生的.通過變式教學(xué)的形式讓學(xué)生到達(dá)題解的多條航道.向量具備幾何與代數(shù)的雙重身份，做到數(shù)中有形，行中有數(shù)，才能真正學(xué)好向量.課堂教學(xué)中對(duì)向量問題的解題策略研究有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，也是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.