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    一道導(dǎo)數(shù)雙變量不等式證明題的多角度探究

    2020-05-13 13:49:36安徽省合肥市第一中學(xué)230601孔祥士
    關(guān)鍵詞:換元單調(diào)導(dǎo)數(shù)

    安徽省合肥市第一中學(xué) (230601) 孔祥士

    一、試題呈現(xiàn)

    (合肥一中2019-2020學(xué)年度高三數(shù)學(xué)周測(cè)二第19題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax,a∈R.

    二、多維探究

    探究1 由x1,x2為方程g′(x)=0的兩根,原不等式可以消去參數(shù)a,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1,x2的不等式,整體換元令t=x1-x2,轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的單變量不等式證明.

    解法1:由g(x)=ex-ax-ax2,故g′(x)=ex-2ax-a,x∈R.

    探究2同探究1消去參數(shù)a,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1,x2的不等式,通過(guò)換元,把指數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)均值不等式,進(jìn)而解決問(wèn)題.

    探究3通過(guò)求導(dǎo)g′(x)=ex-2ax-a,二次求導(dǎo),討論參數(shù)a,易得x1

    解法3:因?yàn)楹瘮?shù)g(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,所以g′(x)=ex-2ax-a在R上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)x1,x2.又g″(x)=ex-2a,當(dāng)a≤0時(shí)g″(x)>0,所以g′(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,所以g′(x)在R上至多一個(gè)零點(diǎn),不合題意.當(dāng)a>0時(shí),當(dāng)x∈

    (-∞,ln2a)時(shí)g″(x)<0,g′(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(ln2a,+∞)時(shí)g″(x)>0,g′(x)單調(diào)遞增,又因?yàn)楫?dāng)x→+∞時(shí),g′(x)→+∞;當(dāng)x→-∞時(shí),

    探究4 同探究1消去參數(shù)a,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1,x2的不等式,不妨設(shè)x1

    三、教學(xué)啟示

    導(dǎo)數(shù)是高中教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn),雙變量不等式的證明是導(dǎo)數(shù)考察的一個(gè)熱點(diǎn),導(dǎo)數(shù)與不等式綜合解答題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力要求很高,深刻考察學(xué)生的綜合能力和核心素養(yǎng),通常以試卷壓軸題出現(xiàn),很多同學(xué)素手無(wú)策,它成為很多同學(xué)難以逾越的障礙,由于試題綜合性強(qiáng),難度大,更不易搞題海戰(zhàn)術(shù),這就更加要求老師在教學(xué)中精選例習(xí)題,通過(guò)對(duì)典型問(wèn)題的多角度探究和適當(dāng)變式,讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟問(wèn)題的本質(zhì),掌握解決問(wèn)題的一般方法,體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,從而最大限度地提高課堂教學(xué)效率.

    提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),落實(shí)立德樹(shù)人的教育教學(xué)任務(wù),所有問(wèn)題都要落實(shí)到課堂教學(xué)這個(gè)主陣地上,尤其是鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題,用不同的途徑解決問(wèn)題,解題后的深度總結(jié)和反思等方面做一些扎實(shí)的工作[1].同時(shí)也從數(shù)學(xué)本身的美,激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣與熱情.

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