一道導(dǎo)數(shù)雙變量不等式證明題的多角度探究

安徽省合肥市第一中學(xué) (230601) 孔祥士

一、試題呈現(xiàn)

(合肥一中2019-2020學(xué)年度高三數(shù)學(xué)周測(cè)二第19題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax，a∈R.

二、多維探究

探究1 由x1,x2為方程g′(x)=0的兩根，原不等式可以消去參數(shù)a，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1,x2的不等式，整體換元令t=x1-x2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的單變量不等式證明.

解法1:由g(x)=ex-ax-ax2，故g′(x)=ex-2ax-a，x∈R.

探究2同探究1消去參數(shù)a，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1,x2的不等式，通過(guò)換元，把指數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)均值不等式，進(jìn)而解決問(wèn)題.

探究3通過(guò)求導(dǎo)g′(x)=ex-2ax-a，二次求導(dǎo)，討論參數(shù)a，易得x1

解法3：因?yàn)楹瘮?shù)g(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，所以g′(x)=ex-2ax-a在R上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)x1，x2.又g″(x)=ex-2a，當(dāng)a≤0時(shí)g″(x)>0，所以g′(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增，所以g′(x)在R上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)x∈

(-∞,ln2a)時(shí)g″(x)<0，g′(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(ln2a，+∞)時(shí)g″(x)>0，g′(x)單調(diào)遞增，又因?yàn)楫?dāng)x→+∞時(shí)，g′(x)→+∞；當(dāng)x→-∞時(shí)，

探究4 同探究1消去參數(shù)a，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1,x2的不等式，不妨設(shè)x1

三、教學(xué)啟示

導(dǎo)數(shù)是高中教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，雙變量不等式的證明是導(dǎo)數(shù)考察的一個(gè)熱點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)與不等式綜合解答題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力要求很高，深刻考察學(xué)生的綜合能力和核心素養(yǎng)，通常以試卷壓軸題出現(xiàn)，很多同學(xué)素手無(wú)策，它成為很多同學(xué)難以逾越的障礙，由于試題綜合性強(qiáng)，難度大，更不易搞題海戰(zhàn)術(shù)，這就更加要求老師在教學(xué)中精選例習(xí)題，通過(guò)對(duì)典型問(wèn)題的多角度探究和適當(dāng)變式，讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟問(wèn)題的本質(zhì)，掌握解決問(wèn)題的一般方法，體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，從而最大限度地提高課堂教學(xué)效率.

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，落實(shí)立德樹(shù)人的教育教學(xué)任務(wù)，所有問(wèn)題都要落實(shí)到課堂教學(xué)這個(gè)主陣地上，尤其是鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題，用不同的途徑解決問(wèn)題，解題后的深度總結(jié)和反思等方面做一些扎實(shí)的工作[1].同時(shí)也從數(shù)學(xué)本身的美，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣與熱情.