“數(shù)形”關(guān)聯(lián) “舊曲”新唱 深度學(xué)習(xí)能力自然生長(zhǎng)
——以“二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的復(fù)習(xí)”為例

江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué) (215400) 朱建良

“激發(fā)自主探究，提升學(xué)習(xí)能力”是變革初中數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)方式的主要途徑，通過(guò)創(chuàng)設(shè)探索性數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，以問(wèn)題探究為載體，遵循數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律，加深理解，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)．筆者以“二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的復(fù)習(xí)”為例，通過(guò)遞進(jìn)式的設(shè)問(wèn)、變式拓展，以問(wèn)題為思維導(dǎo)向，深入思考，意在幫助學(xué)生學(xué)會(huì)反思，感悟內(nèi)涵，獲得認(rèn)知數(shù)學(xué)的方法．

1.一題多變——問(wèn)題驅(qū)動(dòng)探究

教師設(shè)計(jì)科學(xué)、合理的問(wèn)題情境，拓展引申，輔助于學(xué)法指導(dǎo)，對(duì)原題的提問(wèn)方式進(jìn)行改變，對(duì)原題的結(jié)論進(jìn)行延伸和擴(kuò)展，也可把習(xí)題的因果關(guān)系倒置，以“一題多變”為載體，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效探究．幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生不自覺(jué)地形成“分析問(wèn)題能力”和“解決問(wèn)題能力”．

圖1

問(wèn)題1 如圖1,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖像的對(duì)稱軸是直線x=1，其圖像一部分如圖所示．

(1)求證：2c<3b；

(2)若拋物線與x軸交于點(diǎn)(-1,0)，問(wèn)(1)的結(jié)論仍成立嗎？

(3))若拋物線與x軸交于點(diǎn)(-1,0)，與y軸的交點(diǎn)介于點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(0,3)之間，設(shè)頂點(diǎn)P(1,t)，試求t的范圍？

(2)當(dāng)x=-1時(shí)，有y=a-b+c=0，有2c<3b.

設(shè)計(jì)意圖:問(wèn)題(1)(2)變化特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，揭示二次函數(shù)圖像位置與系數(shù)a、b、c的數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系，加深學(xué)生對(duì)拋物線的軸對(duì)稱性的理解．問(wèn)題(3)把拋物線與y軸的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常數(shù)項(xiàng)c的變化區(qū)域討論，再通過(guò)演算，推理出頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t的取值范圍，問(wèn)題設(shè)計(jì)流暢，環(huán)環(huán)相扣，較好地培養(yǎng)了學(xué)生的抽象意識(shí)和推理能力．

2.多題歸一——挖掘問(wèn)題本質(zhì)

在“多題歸一”探究中培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí)，在問(wèn)題意識(shí)中實(shí)現(xiàn)自主探究，循序漸進(jìn)，拓展開(kāi)闊學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，找到解決問(wèn)題的通性通法，關(guān)注問(wèn)題本質(zhì)，把握內(nèi)在規(guī)律，遷移解題方法，提高學(xué)習(xí)效率．

圖2

問(wèn)題2 如圖2，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖像的對(duì)稱軸是直線x=1，該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，若已知點(diǎn)A(-1,0)，OB=OC．若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=m有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．

圖3

設(shè)計(jì)意圖:問(wèn)題2把討論關(guān)于x的方程實(shí)數(shù)根的情況轉(zhuǎn)化為直線與拋物線交點(diǎn)問(wèn)題，由“數(shù)”聯(lián)想到“形”，再由“形”的特征求解“數(shù)”的范圍，涉及構(gòu)造法，轉(zhuǎn)化思想，方程思想，問(wèn)題的求解巧妙地把畫(huà)圖操作、觀察發(fā)現(xiàn)、探究計(jì)算融合在一起，較好地增強(qiáng)了學(xué)生的實(shí)踐能力，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神．

變式1 若關(guān)于x的方程|ax2+bx+c|=k(k≠0)有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．

圖4

再分別討論兩支拋物線圖象與直線y=k的交點(diǎn)情況，當(dāng)0

變式2 若關(guān)于x的方程ax2+b|x|+c=n有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求n的取值范圍．

圖5

設(shè)計(jì)意圖:在原拋物線模型的條件下，變化自變量x的絕對(duì)值條件，分類討論，根據(jù)對(duì)稱性畫(huà)出拋物線的另一半圖像，問(wèn)題顯得“豐滿”，由“數(shù)”及“形”，拋物線的對(duì)稱軸由x軸到y(tǒng)軸變化位置，豐富了圖形內(nèi)涵，提升了思維層次．問(wèn)題2的變式出的新問(wèn)題合乎情理，合乎邏輯，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練變得精彩紛呈．

3.強(qiáng)化模型——尋找問(wèn)題突破口

初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)性的整體架構(gòu)，通過(guò)對(duì)問(wèn)題解決過(guò)程的反思，典型問(wèn)題進(jìn)行“歸類”，建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)建模找到解決問(wèn)題關(guān)鍵點(diǎn)和突破口，并提煉出解決某類問(wèn)題的方法，自動(dòng)建構(gòu)模型，有效遷移，達(dá)到“以題會(huì)類”的教學(xué)境界．

圖6

拓展1 續(xù)問(wèn)題2，如圖6，能否在拋物線上的找一點(diǎn)Q，使ΔBCQ是以BC為直角邊的直角三角形，試求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解析:如圖6，作垂直于直線BC的兩條直線y1=x+3，y2=x-3，把直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

設(shè)計(jì)意圖:設(shè)計(jì)探求特殊動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生整體認(rèn)識(shí)圖形特征，細(xì)心分析動(dòng)點(diǎn)Q顯性或隱性的不變?cè)?，?gòu)造方程模型求解幾何圖形的特殊點(diǎn)坐標(biāo)，歸納總結(jié)，提煉方法，通法不僅可以幫助學(xué)生理解動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的本質(zhì)，也可優(yōu)化思維過(guò)程，形成自我方法優(yōu)化，快速準(zhǔn)確地解決問(wèn)題．

變式3 能否在拋物線上的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)G，使ΔBCG為直角三角形，試求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

4.“生長(zhǎng)”問(wèn)題——喚醒問(wèn)題生命力

剖析典型問(wèn)題，尋找問(wèn)題源，引導(dǎo)學(xué)生逐一回顧處理相關(guān)問(wèn)題的知識(shí)源，分析知識(shí)源的典型特征，選取適當(dāng)?shù)膯?wèn)題源拓展延伸，幫助學(xué)生感悟“數(shù)學(xué)問(wèn)題一般都是運(yùn)用所學(xué)過(guò)的知識(shí)加以解決的”的轉(zhuǎn)化思想，達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)．

圖7

變式4 如圖7，續(xù)問(wèn)題2，如圖點(diǎn)M為x軸上的一點(diǎn)，若∠PBC=∠MCB，試求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

設(shè)計(jì)意圖:變式問(wèn)題的本質(zhì)是拋物線背景下幾何圖形的特征探究，二次函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的特征是數(shù)形結(jié)合的有效載體，函數(shù)模型是客觀世界的重要模型，變式問(wèn)題中直線CM的構(gòu)造與求解的解析式是解決問(wèn)題的突破口，也是數(shù)形結(jié)合的有效銜接環(huán)節(jié)，其探究思路如下圖示：

5.能力立意——提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在提升學(xué)生應(yīng)用知識(shí)和技能解決問(wèn)題的能力的同時(shí)，滲透情感體驗(yàn)和價(jià)值觀的建構(gòu)，教會(huì)學(xué)生觀察、分析、抽象和概括；歸納、演繹和類比進(jìn)行推理，會(huì)準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點(diǎn)；升華學(xué)生數(shù)學(xué)思維的寬度和深度，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)．

圖8

拓展2 續(xù)問(wèn)題2，如圖8，寬度為1的直尺平行于y軸，在點(diǎn)B、C之間平行移動(dòng)，直尺的長(zhǎng)邊所在直線被直線BC和拋物線截得兩線段EF、GH，設(shè)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為m(0

解析:F(m,m+3)，則E(m,-m2+2m+3)，可計(jì)算出EF=-m2+3m，同理得GH=-m2+m+2，EF-GH=2(m-1)，∴當(dāng)0GH．

設(shè)計(jì)意圖:由動(dòng)點(diǎn)位置變化拓展到特殊線段長(zhǎng)度的比較，透視現(xiàn)象看本質(zhì)，類比探究，把線段長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示，由問(wèn)題導(dǎo)學(xué)，將學(xué)生的思維引向解決問(wèn)題的方向，關(guān)注學(xué)生了的持續(xù)生長(zhǎng)，使學(xué)生經(jīng)歷的不僅是一個(gè)解答，更是一種研究問(wèn)題的方法．

以變式拓展的問(wèn)題串為探求線索，引導(dǎo)學(xué)生身歷問(wèn)題情境，獲得體驗(yàn)，積累經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線與拋物線位置關(guān)系的變化為載體，問(wèn)題設(shè)計(jì)強(qiáng)化了拋物線的對(duì)稱性，強(qiáng)調(diào)用圖意識(shí)，變式拓展問(wèn)題呈現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的碰撞，動(dòng)態(tài)問(wèn)題的探究引導(dǎo)學(xué)生感悟本質(zhì)，獲得思維深刻性，使數(shù)形結(jié)合成為自覺(jué)，從而提升學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．