高三圓錐曲線綜合題的教學例析

江蘇省無錫市洛社高級中學 (214187) 吳永嬌 徐榮新

高三復習中圓錐曲線綜合題對學生來說有一定的難度，學生面對復雜的條件和圖形往往較難自主尋找到突破口，同時對于計算也存在著畏懼心理.結合圓錐曲線中重點關注橢圓的要求，筆者就高三復習中橢圓綜合題的教學做一總結，與讀者交流.

1.由圖溯源，找突破口

對于學生來講，圓錐曲線綜合題的難點之一就是參數(shù)的選擇(設點還是設直線)，為后續(xù)問題的解決開頭.在很多問題中由于題目的敘述束縛了學生的思維，或者讓解題思路迷茫，因此在教學中筆者常在標準方程的解決后，把圖像向學生呈現(xiàn)，讓學生觀察圖形思考圖形的產(chǎn)生過程，進而確定解決問題的參數(shù)，這就是所謂的“由圖溯源”.

圖1

(1)記直線BM，BP的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值；

教學過程：第(1)問的教學中筆者在黑板上呈現(xiàn)出橢圓的方程、圖形以及問題，由學生找尋圖形的產(chǎn)生過程，進而突破難點：參數(shù)的選擇.

(學生①，教師板書)圖形的產(chǎn)生根源可以歸結為直線l：y=-2上任一點P，所以設P點坐標為(m,-2)→寫出直線PC方程→聯(lián)立直線PC與橢圓，求出點M→可證明結論；

(學生②，教師板書)圖形的產(chǎn)生根源可以歸結為橢圓上任一點M，所以設M點坐標為(x0,y0)→寫出直線MC方程→聯(lián)立直線PC與直線l：y=-2，求出點P→利用點M的坐標符合橢圓方程可證明結論；

(學生③，教師板書)圖形的產(chǎn)生根源可以歸結為過C點做一條直線，分別交橢圓和直線l：y=-2于點M、P，所以設直線方程為y=kx-1→聯(lián)立直線與橢圓求出M點，聯(lián)立直線求出P點→可證明結論；

(學生④，教師板書)圖形的產(chǎn)生根源可以歸結為過B點做一條直線與直線l交于點P，所以直線BP方程為y=kx+1→聯(lián)立直線與y=-2求出P點→寫出直線PC方程→聯(lián)立直線PC方程與橢圓方程，求出點M→可證明結論；

(學生⑤，教師板書)圖形的產(chǎn)生根源可以歸結為過B點做一條直線與橢圓交于點M，所以直線BM方程為y=kx+1→聯(lián)立直線與橢圓求出M點→寫出直線MC方程→聯(lián)立直線MC方程與y=-2，求出點P→可證明結論.

在整理了幾種思路后進行辨析，對可操作性和運算量進行預估，從而選擇最合理的思路操作.在第(1)問解決的基礎上第(2)問解答略.

現(xiàn)實的高三教學中，常聽到同事們課后的談論：“這節(jié)課只講了兩個題、三個題”，言語中透出淡淡的遺憾——講的太少，但就算緊趕慢趕講，等到批作業(yè)或者試卷時又會抱怨：“怎么還是不會啊？”的確，題干的表述有時束縛了學生的思維，而且教師也會憑著直覺、經(jīng)驗進行講解，少了不同視角的剖析和比較，導致學生在做題時也視角單一、無法切入.因此教學中利用“由圖溯源”的教學策略，肯花時間，讓學生在辨析中突破，在比較中擇優(yōu)，形成思維的創(chuàng)造性.

2.變式教學，掌握通法

在解決圓錐曲線綜合題的過程中，學生常有這樣的反映：題目似曾相識，但又沒有頭緒，即使能操作卻又不能進行到底.追根究源是通性通法的掌握不夠扎實，而變式教學則能讓學生在不同的情境下找尋解決問題的關鍵著手點以及變化之處.

例3 已知圓C的方程為x2+y2=1，直線l1過點A(3，0)且與圓C相切.

(1)求直線l1的方程；

(2)設圓C與x軸相交于P、Q兩點，M是圓C上異于P、Q的任意一點，過點A且與x軸垂直的直線為l2，直線PM交直線l2于點P′，直線QM交直線l2于點Q′，求證:以P′Q′為直徑的圓總經(jīng)過定點，并求出定點坐標.

(1)求橢圓C的方程；

(2)試問：以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標；若不經(jīng)過，說明理由．

圓錐曲線的綜合題中，可以基于同一個方法和相同的本質選擇不同的題目，典型的做法有相同的背景下調(diào)換題目的條件和結論(如例2及變式)，或者在圓和圓錐曲線中設置相同的背景(如例3及變式).在教學中如果能經(jīng)常進行變式教學，讓學生感受其中的通性通法，對于提升解題能力也極有益處.勿容置疑學生能力的提升需要通過一定量題目的訓練，但數(shù)量不等于質量，教師要從大量的題目中前后聯(lián)系，選取富有價值的題目，反思解題思路，找尋聯(lián)系與區(qū)別，在變式中強化通性通法，培養(yǎng)思維的深刻性.

3.加強分析，優(yōu)化運算

(1)求橢圓Q的方程；

①求證：OA與OB的斜率之積為定值；②求OA2+OB2；③求點N的軌跡方程；④求|NC|+|ND|的值.

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，則

因為三個點都在橢圓上，所以

對很多同學來說，計算也是圓錐曲線綜合題中一道難以逾越的鴻溝.原因主要是兩個方面：一是參數(shù)選擇帶來運算量的難易程度(在本文的第一點已進行了梳理)；二是運算時對條件和目的分析不夠導致沒有方向.因此計算時要緊抓題目條件，譬如設曲線上一點，一定要注意此點所符合的表達式，為后面的消元或整體代換作鋪墊，同時要關注最終的目標，這樣有時會指引我們對運算式子進行適當?shù)淖冃?，讓運算水到渠成，而不是象變戲法一樣覺得不可思議.