中考數(shù)學(xué)中的“新定義”題型

陳慧穎

通過閱讀材料滲透新概念、新運(yùn)算、新符號(hào)、新規(guī)定等知識(shí)，是近年中考的又一考題類型.結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)、掌握的技能進(jìn)行理解，根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移，就能很好地處理好它.因此在復(fù)習(xí)中應(yīng)該重視培養(yǎng)閱讀理解新知識(shí)并應(yīng)用新知識(shí)解決問題的能力.把握“新定義”內(nèi)涵，是解決此類問題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)一：“運(yùn)算型”新定義

例1 對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算“?”為：a?b=a2+ab-2，有下列命題：

①1?3=2；

②方程x?1=0的根為：x1=-2，x2=1；

③不等式組

[-2?x-4<0，1?x-3<0]的解集為：-1

④點(diǎn)（[-12]，[52]）在函數(shù)y=x?（-1）的圖像上.

其中正確的是（ ）.

A.①②③④ B.①③

C.①②③ D.③④

【分析】根據(jù)新定義得到：

1?3=12+1×3-2=2；

x?1=0可化為：x2+x-2=0；

[-2?x-4<0，1?x-3<0]實(shí)為[-2x-2<0，x-4<0，]解得

-1

y=x?（-1）=x2-x-2，然后把x=[-12]代入計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，則可對(duì)④進(jìn)行判斷.

解：1?3=12+1×3-2=2，所以①正確；

∵x?1=0，∴x2+x-2=0，

∴x1=-2，x2=1，所以②正確；

∵（-2）?x-4=4-2x-2-4=-2x-2，

1?x-3=1+x-2-3=x-4，

∴[-2x-2<0，x-4<0，]

解得-1

∵y=x?（-1）=x2-x-2，

∴當(dāng)x=[-12]時(shí)，y=[14]+[12]-2=[-54]，

所以④錯(cuò)誤.故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程、一元一次不等式組的解法以及如何判斷一個(gè)點(diǎn)是否在二次函數(shù)圖像上等知識(shí).

考點(diǎn)二：“規(guī)律型”新定義

例2 閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22016的值.

解：設(shè)S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，①

將等式兩邊同時(shí)乘2得：

2S=2+22+23+24+25+…+22016+22017，②

②-①得2S-S=22017-1，

即S=22017-1.

∴1+2+22+23+24+…+22016=22017-1.

請(qǐng)你仿照此法計(jì)算：

（1）1+2+22+23+24+…+210；

（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n為正整數(shù)）.

【分析】（1）設(shè)S=1+2+22+23+24+…+210，將兩邊同乘2后所得式子與所設(shè)式相減，即可求出所求式子的值.

（2）同樣的方法，設(shè)S=1+3+32+33+34+…+3n，但兩邊同乘3.當(dāng)?shù)讛?shù)為幾時(shí)，所設(shè)式子兩邊就要同乘幾.

解：（1）設(shè)S=1+2+22+23+24+…+210，①

兩邊同時(shí)乘2得2S=2+22+23+24+…+210+211，②

②-①得：2S-S=211-1，即S=211-1，

∴1+2+22+23+24+…+210=211-1；

（2）設(shè)S=1+3+32+33+34+…+3n，①

兩邊同乘3得3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1，②

②-①得：3S-S=3n+1-1，

即S=[12]（3n+1-1），

∴1+3+32+33+34+…+3n=[12]（3n+1-1）.

【點(diǎn)評(píng)】各式中后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值為一確定的數(shù)，這就是此類題目的特點(diǎn).充分利用同底數(shù)冪的乘法法則是解本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)三：“閱讀型”新定義

例3 我們規(guī)定：將一個(gè)平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，“面線”被這個(gè)平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”）.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則它的“面徑”長(zhǎng)可以是 （寫出1個(gè)即可）.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：最長(zhǎng)的“面徑”是等邊三角形的高線，最短的“面徑”平行于三角形一邊，然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出最短面徑.

解：如圖1，（1）由于等邊三角形一邊上的高將圖形分成面積相等的兩部分，所以等邊三角形的高AD是它的面線，同時(shí)也是最長(zhǎng)的面徑，AD=[32]×2=[3]；1

（2）當(dāng)EF∥BC時(shí)，且滿足S△AEF=S四邊形BCFE時(shí)，EF為最短面徑，

此時(shí)，（[EFBC]）2=[12]，由BC=2，得EF=[2].

所以它的“面徑”長(zhǎng)可以是[2]、[3]或介于[2]和[3]之間的任意實(shí)數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì).讀懂題意，弄明白“面徑”的定義，并準(zhǔn)確判斷出等邊三角形的最短與最長(zhǎng)的“面徑”是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)四：“探索型”新定義

例4 如圖2，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn).解決問題：

（1）如圖2，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明理由.

（2）如圖3，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖3中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)E.

拓展探究：

（3）如圖4，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處.若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系.

【分析】（1）要證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC.

（2）由于點(diǎn)E在AB上，所以只需滿足∠DEC是直角，那么E點(diǎn)就是強(qiáng)相似點(diǎn).

（3）因?yàn)辄c(diǎn)E是梯形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例，可以判斷出AE和BE的數(shù)量關(guān)系，從而可求出解.

解：（1）如圖2，點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn).

理由：∵∠A=55°，

∴∠ADE+∠DEA=125°.

∵∠DEC=55°，

∴∠BEC+∠DEA=125°.

∴∠ADE=∠BEC.

又∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC，

∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn).

（2）如圖5，以CD為直徑作圓交AB于兩點(diǎn)即為所求的兩個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn).

（3）如圖4，∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM.

由折疊可知：△ECM≌△DCM，

∴∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°，CE=CD，

∴BE=[12]CE=[12]CD=[12]AB，即E是AB的中點(diǎn)，

在Rt△BCE中，tan∠BCE=[BEBC]=tan30°.

∴[BEBC]=[33]，

∴[ABBC]=[233].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形、圓的性質(zhì)，以及理解相似點(diǎn)和強(qiáng)相似點(diǎn)的新概念等.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）