歸納猜想見(jiàn)微知著

孔雙玉

歸納猜想型問(wèn)題也是規(guī)律探索型問(wèn)題，主要有“數(shù)、式、圖形”等類型，對(duì)同學(xué)們的觀察、歸納、分析及推理能力要求較高，經(jīng)常以選擇、填空、壓軸題的形式出現(xiàn).我們常用的解析模式是“特殊—一般—特殊”，這也是人類認(rèn)識(shí)新生事物的一般規(guī)律.歸納猜想有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，是學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)知識(shí)所必備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.下面讓我們一起在相關(guān)問(wèn)題的解析中，感受“歸納猜想”的魅力.

一、歸納數(shù)式的變化規(guī)律

例1 觀察下列等式：

第1層 1+2=3

第2層 4+5+6=7+8

第3層 9+10+11+12=13+14+15

第4層 16+17+18+19+20=21+22+23+24

……

在上述數(shù)字寶塔中，從上往下數(shù)，數(shù)字2016在第 層.

【分析】本題的塔狀數(shù)式規(guī)律看似明顯，同學(xué)們往往抓不住觀察的“要點(diǎn)”，而兩端數(shù)據(jù)的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，則是本題的突破口，不同視角的觀察、歸納、猜想，也成就了數(shù)學(xué)的趣味性.

解：由觀察可知：

1=12；4=22；9=32；16=42；…

經(jīng)計(jì)算，易知442<2016<452

所以2016在第44層.

【點(diǎn)評(píng)】數(shù)學(xué)源于自然，在貌似平常的自然現(xiàn)象中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，能讓我們感受到數(shù)學(xué)的奇妙與魅力，這也是中考命題的源泉.

例2 把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，現(xiàn)有等式Am=（i，j）表示正奇數(shù)m是第i組第j個(gè)數(shù)（從左往右數(shù)），如A7=（2，3），則A2015=（ ）.

A.（31，50） B.（32，47）

C.（33，46） D.（34，42）

【分析】本題考查同學(xué)們對(duì)于數(shù)據(jù)的次序及個(gè)數(shù)的準(zhǔn)確認(rèn)知.我們首先要認(rèn)清數(shù)據(jù)在數(shù)軸上的數(shù)點(diǎn)表示，而且要對(duì)等差數(shù)列求和的相關(guān)知識(shí)有所了解，并能夠準(zhǔn)確應(yīng)用.

解：令2n-1=2015，解得n=1008，

即2015是第1008個(gè)正奇數(shù)，前m個(gè)正奇數(shù)的個(gè)數(shù)之和1+3+5+…+（2m-1）=[1+2m-1m2]=m2.

經(jīng)計(jì)算，易知312<1008<322，所以1008-312=47.

綜上可知，A2015=（32，47）.

【點(diǎn)評(píng)】要想準(zhǔn)確快速地解決此類問(wèn)題，必需有意識(shí)地培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的層次性，從數(shù)點(diǎn)和數(shù)列求和的不同視角審視問(wèn)題，積累等差數(shù)列相關(guān)的性質(zhì)、運(yùn)算技巧，同時(shí)為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

二、歸納圖形的變化規(guī)律

例3 如圖1，已知直角三角形ACB，AC=3，BC=4，過(guò)直角頂點(diǎn)C作CA1⊥AB，垂足為A1，再過(guò)A1作A1C1⊥BC，垂足為C1；過(guò)C1作C1A2⊥AB，垂足為A2，再過(guò)A2作A2C2⊥BC，垂足為C2……這樣一直作下去，得到一組線段：CA1，A1C1，C1A2……則第10條線段A5C5=

【分析】直角三角形相關(guān)知識(shí)是中考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)，尤其像這種垂直線段的迭代關(guān)系，一定要著眼于抓住變化中的“不變量”，加以歸納、運(yùn)用.

解：由題意，易知∠A1CC1=∠A，AC=3，BC=4，AB=5，sinA=[BCAB]=[45].

在Rt△AA1C中，易知A1C=3sinA，

在Rt△A1C1C中，

易知A1C1=A1C?sinA=3sin2A.

同理可證：

A2C2=A1C1?sin2A=3sin4A，

依次類推，可得：

A5C5=3sin10A=3×（[45]）10.

【點(diǎn)評(píng)】直角三角形中銳角三角函數(shù)的靈活運(yùn)用是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，在迭代規(guī)律的應(yīng)用中，要及時(shí)觀察歸納數(shù)據(jù)規(guī)律，并加以合理的猜想運(yùn)用，這會(huì)讓我們體會(huì)到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約之美、應(yīng)用之美.

例4 如圖2，對(duì)面積為1的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：第一次操作，分別延長(zhǎng)AB、BC、CA至點(diǎn)A1、B1、C1，得到A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA.順次連接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，記其面積為S1；第二次操作，分別延長(zhǎng)A1B1、B1C1、C1A1至點(diǎn)A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，順次連接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，記其面積為S2……按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到△A5B5C5，則其面積S5= .

【分析】本題考查同學(xué)們的觀察發(fā)現(xiàn)能力，以及對(duì)于三角形面積比例問(wèn)題的敏銳性.易錯(cuò)點(diǎn)在于，誤認(rèn)為是三角形的相似變化，實(shí)則不然，需要運(yùn)用輔助線分割處理，才能歸納出迭代操作中面積的變化規(guī)律.

解：連接A1C，

由A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，

易知S△CBA1=2S△CAB=2，

S△A1CB1=2S△CBA1=4，則S△A1BB1=6，

同理可得S△B1CC1=S△C1AA1=6，

故S△A1B1C1=19=19S△ABC.

由此類推，可得：

S△A5B5C5=195S△ABC=195.

【點(diǎn)評(píng)】迭代操作問(wèn)題的解決，關(guān)鍵在于每一次操作后圖形變化規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、歸納；同時(shí)，平面幾何問(wèn)題的解決也往往需要輔助線的幫助.

三.歸納坐標(biāo)的變化規(guī)律

例5 點(diǎn)B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n是正整數(shù)）依次為一次函數(shù)y=[14]x+[112]圖像上的點(diǎn)，如圖4，已知點(diǎn)A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、An（xn，0）（n是正整數(shù)）依次為x軸正半軸上的點(diǎn)，已知x1=a（0

（1）寫出B2、Bn兩點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）求x2、x3（用含a的代數(shù)式表示）；分析圖形中各等腰三角形底邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系，寫出你認(rèn)為成立的兩個(gè)結(jié)論.

（3）當(dāng)a（0

【分析】本題主要考查初等函數(shù)的應(yīng)用及觀察、歸納、分析論證的綜合能力，尤其是奇數(shù)位置、偶數(shù)位置上等腰三角形底邊長(zhǎng)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，是解析問(wèn)題的突破口.

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)B2，Bn在直線y=[14]x+[112]上，且橫坐標(biāo)分別為2，n，

所以B2（2，[712]），Bn（n，[n4]+[112]）.

（2）由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)及數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的概念，易知：

x2=1+（1-a）=2-a，

x3=2+[2-（2-a）]=2+a.

結(jié)論1：頂點(diǎn)為B1，B3，B5…這些奇數(shù)位置上的等腰三角形底邊的長(zhǎng)都等于2-2a；

結(jié)論2：頂點(diǎn)為B2，B4，B6…這些偶數(shù)位置上的等腰三角形底邊的長(zhǎng)都等于2a；

結(jié)論3：每相鄰的兩個(gè)等腰三角形底邊之和都等于常數(shù)2.

（3）設(shè)第n個(gè)等腰三角形恰好是直角三角形，則這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)等于高yn的2倍.

由（2）知：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有

2-2a=2（[14n]+[112]），

化簡(jiǎn)，得n=-4a+[113]（0

所以-[13]

所以n=1或3，所以a=[23]或[16].

②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有2a=2（[14n]+[112]），

化簡(jiǎn)，得n=4a-[13]（0

所以-[13]

所以a=[712].

綜上所述，存在等腰直角三角形.當(dāng)a=[23]時(shí)，第一個(gè)三角形是等腰三角形；當(dāng)a=[712]時(shí)，第二個(gè)三角形是等腰直角三角形；當(dāng)a=[16]時(shí)，第三個(gè)三角形是等腰直角三角形.

【點(diǎn)評(píng)】面對(duì)函數(shù)情境中坐標(biāo)的變化，問(wèn)題解決的關(guān)鍵點(diǎn)在于等腰三角形底邊長(zhǎng)度規(guī)律的歸納、猜想及應(yīng)用，其次才是n范圍的限定求值.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）