Lp-Blaschke-Minkowski同態(tài)的Shephard問題

富 娜,陳 斌

(1．西南交通大學 數(shù)學學院，四川 成都 610031；2．三峽大學 理學院，湖北 宜昌 443002)

0 引言

設K是一個凸體,如果K是n維歐式空間n中具有非空內(nèi)點的緊的凸集.在n中所有凸體的集合寫作Kn.令表示包含原點為內(nèi)點的凸體集合,表示原點對稱的凸體集合.此外,令表示在n中的星體集合(即包含原點且具有連續(xù)的徑向函數(shù)的緊的星形).表示原點對稱的星體集合.我們記u為單位向量,B為質(zhì)心在原點的單位球, 其表面記為Sn-1.

投影體的概念是由Minkowski在上世紀末首次引入的.通過Petty[1], Schncider[2], Bolker[3], Lutwak[4]和張高勇[5]等人的工作,投影體的研究引起了許多國內(nèi)外學者的關注.

h(K,x)=max{x·y∶y∈K},x∈n

其中x·y表示n中x和y的標準內(nèi)積.

假設K∈Kn,任意的u,v∈Sn-1,K的投影體∏K是原點對稱的凸體,并且有如下的支撐函數(shù):

其中S(K,·)表示K的表面積測度.

關于投影體,Shephard[7]提出了如下的問題：

V(K)≤V(L).

問題1.1被稱為Shephard問題,比問題1.1中條件更廣泛的一類問題稱之為一般Shephard問題.對于問題1.1的解答,Petty[1]和Schneider[2]分別給出了肯定與否定回答.

關于投影體的更多知識可以參考下面的兩本非常好的書(見文獻[6,19]).

2006年,在投影體性質(zhì)的基礎上,Schuster[8]介紹了Blaschke-Minkowski同態(tài)的概念,并在此概念的基礎上研究了Shephard問題.關于Blaschke-Minkowski同態(tài)的更多知識可以參考文獻[9～13].2013年,汪衛(wèi)又將Schuster介紹的Blaschke-Minkowski同態(tài)概念推廣到了Lp形式,在此,根據(jù)Lp Minkowski存在定理[14](定理9.2.3)，我們改進汪衛(wèi)的Lp-Blaschke-Minkowski同態(tài)的概念如下：

1)Φp是連續(xù)的；

有關Lp-Blaschke-Minkowski同態(tài)的更多知識可以參見文獻[15～17].

(1.1)

在本文中,結(jié)合Lp仿射表面積的概念,我們繼續(xù)研究Lp-Blaschke-Minkowski同態(tài)的Shephard問題.

(1.2)

結(jié)合式(1.2),我們給出Lp-Blaschke-Minkowski同態(tài)的Shephard問題的肯定回答如下：

(1.3)

等號成立當且僅當ΦPK=ΦPL.

(1.4)

(1.5)

等號成立，當且僅當ΦPK=ΦPL.

最后,我們給出Lp-Blaschke-Minkowski同態(tài)的Shephard問題的否定回答.

ΩP(K)>ΩP(L).

(1.6)

以下,我們介紹一些基本的概念.定理1.1～1.3的證明將在第二節(jié)給出.

1 預備知識

1.1 徑向函數(shù)和極體

ρ(K,x)=max{λ≥0∶λ·x∈K},x∈n{0}.

如果ρK是一個連續(xù)的函數(shù),則稱K是一個關于原點的星體.如果K,L∈Sn,且ρk(u)/ρL(u)與u∈Sn-1無關,則稱K，L是彼此膨脹的.

設E∈Kn的極體E*定義為[19]

(2.1)

1.2 Lp混合體積和Lp對偶混合體積

dSp(K,·)=h(K,·)1-pdS(K,·),

其中S(K,·)是K的表面積測度.

(2.2)

(2.3)

由式(2.2)和式(2.3),我們?nèi)菀椎玫?/p>

V-p(K,K)=Vp(K,K)=V(K).

1.3 Lp-Blaschke體

Sp(λ⊙K?pμ⊙L,·)=λSp(K，·)+μSp(L，·),

(2.4)

其中?p表示Lp-Blaschke加,⊙表示Lp-Blaschke數(shù)乘.

(2.5)

2 Lp-Blaschke-Minkowski同態(tài)的Shephard問題

在本節(jié)中,我們給出Shephard問題,即定理1.1～1.3的證明.首先,我們給出下面的引理，以證明定理1.1.

Vp(K,ΦpL)=Vp(L,ΦpK).

h(ΦpK,u)p≤h(ΦpL,u)p

(3.1)

=Vp(L,ΦpN)=Vp(N,ΦpL).

(3.2)

在式(3.2)中等號成立當且僅當ΦpK=ΦpL.

根據(jù)式(3.2)中等號成立的條件,我們可以得到式(1.3)中等號成立當且僅當ΦpK=ΦpL.

(3.3)

(3.4)

根據(jù)式(3.4)等號成立的條件,我們得到式(1.5)中等號成立當且僅當ΦpK=ΦpL.

由引理3.3,我們立即可以得到下面的結(jié)果：

Ωp(-K)=Ωp(K).

(3.5)

Ωp(pK)≥Ωp(K)

(3.6)

當p=1時,等號成立當且K的質(zhì)心在原點,當p≥1時等號成立，當且僅當K是原點對稱的.

證明結(jié)合式(1.1)和式(2.5),我們得到

則通過式(3.5),我們可以得到式(3.6)，并且在式(3.6)中當?shù)忍柍闪?，當p=1時,等號成立當且K的質(zhì)心在原點；當p>1時,等號成立當且僅當K是原點對稱的.

h(ΦpK,·)p=Sp(K，·)*g,

h(Φp(pK),u)p=Sp(pK,u)*g

當Φp是偶的時,則ΦpK=Φp(-K).因此我們得到Φp(pK)=ΦpK.

定理1.3的證明當L不是原點對稱的,利用引理3.4,我們得到

Ωp(pL)>Ωp(L)

取一個ε>0,使得Ωp((1-ε)pL)>Ωp(L),并且令K=(1-ε)pL,則Ωp(K)>Ωp(L).