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      Fuzzy矩陣復(fù)合運(yùn)算的單調(diào)收斂性研究

      2020-04-15 10:15:58關(guān)卻東智索南仁欠
      關(guān)鍵詞:對角收斂性單調(diào)

      關(guān)卻東智,索南仁欠,2

      (1.青海師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,青海 西寧 810008;2.青海師范大學(xué) 研究生院,青海 西寧 810008)

      0 引言

      本文在“基于Fuzzy矩陣復(fù)合運(yùn)算新定義的性質(zhì)研究”的基礎(chǔ)上,研究了模糊矩陣復(fù)合運(yùn)算的基本性質(zhì),并且引入冪序列的概念與幾種特殊模糊矩陣,如對角占優(yōu)矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣等.同時研究并討論模糊矩陣與特殊模糊矩陣在改造的Fuzzy復(fù)合運(yùn)算,即(max-·)型復(fù)合運(yùn)算下其單調(diào)性與收斂性.其中,單調(diào)性是研究模糊矩陣的冪序列是否收斂的基礎(chǔ).而模糊矩陣的收斂性對數(shù)值計算有著重要的作用,它對數(shù)值計算結(jié)果具有直接的影響.模糊矩陣的收斂性是研究模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提[7].因此,討論研究(max-·)型復(fù)合運(yùn)算下的單調(diào)性與收斂性是有必要的.總之,通過對比發(fā)現(xiàn):雖然Zadeh算子的復(fù)合運(yùn)算的代數(shù)性質(zhì)比(max-·)型復(fù)合運(yùn)算要好許多,但(max-·)算子在有些方面具有優(yōu)良的性質(zhì).

      1 預(yù)備知識

      定義1.1 單調(diào)矩陣:設(shè)A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,C=(cij)m×n∈T(U),U為論域.規(guī)定:

      *:[0,1]×[0,1]→[0,1]

      *為[0,1]上的二元算子.

      1)序關(guān)系:A≤B當(dāng)且僅當(dāng)aij≤bij,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n.

      2)單調(diào)性:若A≤B,則A*C≤B*C.

      3)單調(diào)矩陣:若A≤A2,Ak≤Ak+1,則A稱為單增矩陣.若A≥A2,Ak≥Ak+1(k≥1),則A稱為單減矩陣.單增矩陣與單減矩陣統(tǒng)稱為單調(diào)矩陣,其中記A*A=A2,Ak+1=Ak*A.

      定義1.2設(shè)R∈F(U×U)

      1)若任意的u∈U,都有R(u,u)=1(或0),則為R在U上是自反的(或反自反的).

      2)若任意的u,v∈U,都有R(u,v)=R(v,u)(若u≠v,且R(u,v)>0時有R(v,u)=0),則為R在U上是對稱的(或反對稱的).

      3)若任意的u,v∈U,都有R°R(u,v)≤R(u,v),則為R在U上是傳遞的.

      4)若模糊矩陣R∈MF(U),滿足自反性、對稱性時稱R是U上的模糊相似矩陣.

      5)若模糊矩陣R∈MF(U),滿足自反性、對稱性、傳遞性時稱R是U上的模糊等價矩陣.

      定義1.3

      1)單位矩陣:存在模糊矩陣E,使得E*A=A*E=A,其中

      2)零矩陣:矩陣中所有元素都為0的矩陣,由O表示.

      3)數(shù)量矩陣:所有非主對角線元素全等于零的矩陣,由D表示.

      2 改造以Zadeh算子為模糊矩陣的復(fù)合運(yùn)算

      定義2.1當(dāng)論域U有限時,模糊矩陣R和G的復(fù)合運(yùn)算記為R°G,并規(guī)定:

      (注)這里給定的以Zadeh算子為模糊矩陣的復(fù)合運(yùn)算是多種算子系列中的一種,即(max-min)復(fù)合運(yùn)算,也是Zadeh算子作為運(yùn)算符號的一種符合.比較其他算子而言,它更具一般性,具有最好的代數(shù)性質(zhì),運(yùn)算量也簡單.但應(yīng)用Zadeh算子時主觀意識對總體判斷具有顯著影響,而且許多隸屬度在取小取大后所帶信息在計算和應(yīng)用中沒有起到作用,相當(dāng)于損失了某些信息,這是不利的.

      一般而言,模糊矩陣的復(fù)合運(yùn)算以什么方式或選擇什么算子,取決于模糊集或者模糊關(guān)系時采用了某種模糊運(yùn)算.因此,對給定的二元運(yùn)算*,可以定義R°G為模糊矩陣R和G的復(fù)合運(yùn)算,其中舉例說明比較特殊的兩種復(fù)合運(yùn)算:

      這樣的改造可以視具體情況而定,但在實(shí)際中不同的研究對象,選用適當(dāng)?shù)乃阕觼砻枋鍪潜容^困難的,因此研究這些算子的代數(shù)性質(zhì)是人們所希望的.

      由于實(shí)數(shù)的集合具有序關(guān)系,因此能夠誘導(dǎo)出以下關(guān)系:

      ∧=min與∨=max

      本文對∧與min,∨與max不加以區(qū)分.

      通過研究分析表明,如果二元運(yùn)算*滿足結(jié)合律且在[0,1]2上處處非減,則(max-*)或(min-*)復(fù)合運(yùn)算也是可以結(jié)合的,且對并運(yùn)算滿足分配律(結(jié)論1).故得到矩陣的冪定義,即

      R1=R,Rk+1=Rk°R?k≥1.

      矩陣的冪定義可以得到R的一個冪序列,本文重點(diǎn)研究冪序列的單調(diào)性與收斂性.

      本文將二元運(yùn)算*選取為普通意義上的乘積,即a*b=ab,a,b∈[0,1],則復(fù)合運(yùn)算為

      命名為(max-·)型復(fù)合運(yùn)算.

      根據(jù)上述分析我們可以得到一些簡單的結(jié)論(結(jié)論2),即

      1)結(jié)合律:A°(B°C)=(A°B)°C.

      2)并分配率:A°(B∪C)=A°B∪A°C(A∪B)°C=A°C∪B°C.

      3)交分配率:A°(B∩C)=A°B∩A°C(A∩B)°C=A°C∩B°C.

      (注)交分配律在Zadeh算子下不成立.

      證明A°(B∩C)=∨?k[aik·(bkj∧ckj) ]

      =∨?k[aik·bkj∧aikckj) ]

      =[∨?k(aik·bkj)]∧[∨?k(aik·ckj)]=A°B∩A°C

      4)交換律:若A,B都是自反的,則A°B=B°A.

      證明因aik·bkj≤min?k{aik,bkj}且A,B都是自反的,使得

      又因aij∨bij=bij∨aij,所以A°B=B°A.

      5)單調(diào)性:若A≤B,則A°C≤B°C.

      其余結(jié)論的證明是顯然的,故在此略去.

      下面我們將研究改造后的(max-·)型復(fù)合運(yùn)算的單調(diào)性與收斂性.最基本的性質(zhì)請參看文獻(xiàn)[1].比如文獻(xiàn)[1]中研究了自反性、對稱性、傳遞性、等價關(guān)系、λ-截距陣等相關(guān)內(nèi)容.

      3 模糊矩陣復(fù)合的單調(diào)性

      定理3.1若A°B=C,則A∪B≥C.

      證明因aij∨bij≥∨(aik·bkj)=cij當(dāng)且僅當(dāng)aik=bkj=1時等號成立.

      推論3.2若A°B=C,則max(A,B)≥C.

      推論3.3若A°A=A2,則A≥A2.

      推論3.3說明在(max-·)算子下模糊矩陣永遠(yuǎn)都是單減矩陣,因此,我們只討論單減矩陣.但事實(shí)上,對于這類矩陣具有更為常用的名字,稱為傳遞矩陣.

      圖1中的MN1和MN2都工作在亞閾值區(qū)域,MP1、MP2和MP3具有相同的寬長比,所以Iout=Iref。由于電阻RS的存在,MN1和MN2的VGS不相等。設(shè)MN1的尺寸與MN2的尺寸的比值為K,電阻RS兩端的電壓為IoutRS,忽略體效應(yīng)的影響,即VTHN1=VTHN2,由IrefRs=VGSN2-VGSN1可得[14]

      定義3.1設(shè)A=(aij)n×n∈MF(U×U),若任意i,j∈{1,2,…,n},都存在aij≤max{aii,ajj},則稱A為對角占優(yōu)矩陣.

      則稱A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣.

      定義3.3任意給定λ∈F(F為數(shù)域),F(xiàn)uzzy陣A與λ的數(shù)乘記為λA,其中λA=(λaij)m×n.

      定理3.4設(shè)A為n階Fuzzy對角占優(yōu)方陣,P為n階置換矩陣,若(bij)=P'AP(P'為P的轉(zhuǎn)置矩陣),使得bii≥b(i+1)(i+1),1≤i≤n-1.

      定理3.5若A是對角占優(yōu)Fuzzy方陣,且有aii·aij≥ait·atj,則

      證明首先由定理3.4知,任意對角占優(yōu)方陣都在某個置換矩陣下將主對角元素排序,且有bii≥b(i+1)(i+1),1≤i≤n-1,故不妨設(shè)A的對角元素為a11≥…≥aqq≥app≥…≥ann,因?yàn)閍ii·aij≥ait·atj,

      對任意給定的i,j都存在k,使得不等式

      從而由定理3.5可知,推論3.6成立.

      推論3.7若A是對角Fuzzy方陣,則

      此類等式為模糊矩陣的冪序列單調(diào)恒等式.

      4 特殊模糊矩陣復(fù)合的收斂性

      定義4.1收斂性:設(shè)A為U上的模糊關(guān)系(矩陣),若對任意的x,y∈U,數(shù)列{Ak(x,y) }k≥1都收斂,則稱A是收斂的.

      以下用此定義無限收斂.

      aijk+P=aijk

      (1)

      滿足式(1)的最小正整數(shù)K,P分別稱為A的收斂指數(shù)與周期指數(shù),且分別記為Ak,AP.當(dāng)Ak不存在,而limk→∞aijk存在時,則稱A無限收斂.因此,有以下結(jié)論:

      定理4.1設(shè)A是n階Fuzzy陣,aijk無限收斂當(dāng)且僅當(dāng)limk→∞aijk=0.

      證明?:無限收斂定義可知,

      ?:顯然.

      定理4.2若A是n階對角Fuzzy陣,則Ak無限收斂.

      證明因A=diag(a11,a22,…,ann),可得Ak=diag(a11k,a22k,…,annk),所以定理4.1得,limk→∞aiik=0,可知Ak無限收斂.

      推論4.3設(shè)A是n階Fuzzy陣,若在置換矩陣P下能對角化,則Ak無限收斂.

      證明因P'AkP=P'AP…P'AP,由定理4.2知Ak無限收斂.

      推論4.4 設(shè)A是n階Fuzzy數(shù)量陣,則Ak無限收斂.

      證明根據(jù)數(shù)量矩陣的定義知,A=mE,所以Ak=mkE,故收斂.

      下面由一例子來直觀描述上述結(jié)論.

      在(max-·)型復(fù)合意義下,可得

      k不管是偶數(shù)還是奇數(shù),顯然都有

      因此,Ak無限收斂,說明A在(max-·)型復(fù)合運(yùn)算下收斂.

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