不等式選講模塊中兩個(gè)重要定理的應(yīng)用

廣東省汕頭市第一中學(xué)

2019年高考全國Ⅰ卷和Ⅲ卷的不等式選講問題均考察了不等式的證明,再度引起了我們對(duì)今年備考不等式證明這一內(nèi)容的重視.說起不等式證明的常用方法,除了常規(guī)為我們所認(rèn)知的作差法,分析法之外,自然會(huì)想起兩個(gè)重要的工具——基本不等式和柯西不等式.本文從這兩個(gè)定理的應(yīng)用以及交匯的角度做了探討,與大家共同研究學(xué)習(xí).

一、基本不等式在證明中的應(yīng)用

基本不等式是在人教A版教材必修5課本中《不等式》章節(jié)的一個(gè)內(nèi)容,在選修4-5《不等式選講》又列入其中,其公式本身在不等式證明中主要涉及二元與三元兩種形態(tài)基本不等式.

從現(xiàn)行全國卷高考題考查分布來看,基本不等式主要考查的還是二元基本不等式,三元基本不等式的考查目前僅在2019年全國Ⅰ卷中有所涉及.

技巧一涉及三元不等關(guān)系,尤其次數(shù)非三次(或三次方根)的情況,常以二元基本不等式為主,利用三式相乘或者相加,達(dá)到證明目的.

例1設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:

證明(1) 因?yàn)閍,b為正數(shù),所以同理可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故

(2) 因?yàn)?a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,由基本不等式有

點(diǎn)評(píng)本題的設(shè)計(jì)是常見的三元不等關(guān)系,但證明過程使用的卻是普通的二元基本不等式,這里就需要學(xué)生在挑選和使用定理的過程中對(duì)兩種形態(tài)基本不等式作一個(gè)比較,比如若使用三元基本不等式,則一般常涉及到三次式,或者三次方根,這兩者本題都不涉及,這可以作為判斷依據(jù),少走彎路.另外,本題還有一個(gè)關(guān)鍵的關(guān)系,就是(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac這個(gè)展開式.利用這個(gè)展開式,結(jié)合基本不等式,我們不難推出以下二級(jí)結(jié)論,在日常訓(xùn)練中可以有意識(shí)讓學(xué)生作為證明范本記憶使用.(考場(chǎng)上證明過程需要在解答中給出,這里是建議學(xué)習(xí)證明過程)

結(jié)論一ab+bc+ac ≤a2+b2+c2,(a,b,c ∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.

結(jié)論二(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2),(a,b,c ∈R),

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.

技巧二巧用定值代入,構(gòu)造基本不等式.

在不等式證明或者最值問題中,條件往往都有“定值”條件的出現(xiàn),而針對(duì)基本不等式的特點(diǎn),常常可以利用“常數(shù)替換”配湊出基本不等式,從而簡化證明與運(yùn)算.

例2(1) 已知正實(shí)數(shù)a,b,滿足a+b=4.求的最小值;

(2) 已知a,b,c為正數(shù),且滿足a+b+c=3,證明:9ab+bc+4ac ≥12abc.

解(1) 因?yàn)閍+b=4,所以因?yàn)閍 ＞0,b ＞0,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)時(shí),取得最小值

(2) 要證9ab+bc+4ac ≥12abc,只需證即證即證即證因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.原命題得證.

點(diǎn)評(píng)本題(1) 問使用的是基本不等式應(yīng)用中的一個(gè)典型方法,學(xué)生一般不會(huì)陌生,然而作為一個(gè)典型的方法,其應(yīng)用還不僅于此,到了(2) 問我們又將問題推廣到了三元形態(tài).由于(2) 問證明的是不等關(guān)系,故先從分析法對(duì)結(jié)論進(jìn)行變形分析,再利用定值替換的方法進(jìn)行配湊證明.定值替換的做法除了以“乘法”形式介入不等式,還可以結(jié)合式子特點(diǎn),以“加法”形式介入,只要能構(gòu)成基本不等式使用條件,同樣能達(dá)到配湊效果.

例3(2013年高考全國Ⅱ卷) 設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:

(1)

證明(1) 證法同例1(2),略;

(2) 因?yàn)?/p>

類似的做法,如果證明的不等關(guān)系是分式形態(tài),且分子為常數(shù)的式子,也可以嘗試定值替換達(dá)到常數(shù)分離或者消元的效果,化簡不等關(guān)系.

例4已知a,b,c ＞0,且a+b+c=1.證明:

證明

技巧三涉及三元不等關(guān)系,且次數(shù)為三次(或帶三次方根)的式子,可以考慮從三元基本不等式關(guān)系入手證明.

例5(2019年高考全國Ⅰ卷) 已知a,b,c為正數(shù),且滿足abc=1．證明:

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

證明(1) 要證注意到abc=1,即證ab+bc+ac ≤a2+b2+c2,只需要用上述二級(jí)結(jié)論的證明方法即可,略.

(2) 因?yàn)閍,b,c為正數(shù)且abc=1,故有

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立

點(diǎn)評(píng)正如前面例1的點(diǎn)評(píng)中提到,使用三元基本不等式關(guān)系時(shí),一般需要涉及“三元”與“三次”的條件,本題(2) 問恰好符合這一條件,所以考慮從三元基本不等式作為切入點(diǎn),再分別使用三次二元基本不等式關(guān)系,最后需要驗(yàn)證的是多次使用基本不等式等號(hào)成立的條件能否同時(shí)滿足.

二、柯西不等式在證明中的應(yīng)用

柯西不等式是人教A版選修4-5《不等式選講》中的教學(xué)內(nèi)容,主要解決的是不等式最值以及相關(guān)證明問題.柯西不等式的證明與記憶,可以利用向量中的一個(gè)不等關(guān)系作為輔助,即|a·b|≤|a||b|,當(dāng)且僅當(dāng)a//b時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)這個(gè)向量關(guān)系,對(duì)應(yīng)二維向量和三維向量的坐標(biāo)計(jì)算,可以得出二元形態(tài)和三元形態(tài)的柯西不等式,當(dāng)然也可以推廣到n元形態(tài).這里著重介紹二元與三元形態(tài)的柯西不等式:

· 二元柯西不等式:

· 三元柯西不等式:

從柯西不等式的形態(tài)來看,其涵蓋了不等關(guān)系中常見的“積”,“和”,“平方和”等關(guān)系,尤其是將“積求和”分離成“平方和”關(guān)系,是柯西不等式應(yīng)用的最大亮點(diǎn).利用這個(gè)特點(diǎn),柯西不等式在不等關(guān)系的證明中,尤其是三元不等關(guān)系中可以發(fā)揮較大作用,下面先通過例6,例7展示柯西不等式的基本用法.

例6若x,y,z ＞0且滿足x+y+z=1,求證

證明由柯西不等式得

例7若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值.

解由柯西不等式得(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32),即36≤14(x2+y2+z2),所以x2+y2+z2的最小值為當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.

點(diǎn)評(píng)通過上述兩個(gè)例子,可以看出柯西不等式在使用過程中可以巧妙的根據(jù)變量系數(shù)的不同進(jìn)行配湊,這點(diǎn)是基本不等式所難以做到的.學(xué)生如果能針對(duì)這個(gè)特點(diǎn),由柯西不等式出發(fā)去構(gòu)造完整的“柯西不等式體系”,那么證明的思路也能相應(yīng)拓寬以及更為便捷.下面我們針對(duì)幾道全國卷高考原題,通過對(duì)比不同的解法來闡述柯西不等式在這類問題中的應(yīng)用.

例8(2019年高考全國Ⅲ卷) 設(shè)x,y,z ∈R,且

(1) 求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;

(2) 若(x-2)2+(y-1)2+(z -a)2≥成立,證明:a ≤-3或a ≥-1.

解法一(1) 由于

(2) 由于

針對(duì)本題的解法,筆者在相關(guān)高考試題全解書籍或者網(wǎng)絡(luò)搜索到的解法普遍采用的就是以上解法一,即先利用整體三元完全平方式展開得到不等關(guān)系后,再進(jìn)行證明,實(shí)則文章前面所提到的二級(jí)結(jié)論二.下面的解法二是直接應(yīng)用柯西不等式證明并解決該問題.

解法二(1) 由柯西不等式

(2) 由柯西不等式

點(diǎn)評(píng)從解法二看來,如能找準(zhǔn)柯西不等式的切入口,對(duì)本題的解決無疑提供了更加便捷的思路.而柯西不等式的應(yīng)用關(guān)鍵在于巧妙的結(jié)合變量定值以及變量和系數(shù)之間的配湊,能利用好這點(diǎn)對(duì)問題的解決有很大幫助.我們?cè)谥v解這類問題的解法之后,還可以對(duì)不等關(guān)系再做變形,比如更改系數(shù)或者常數(shù),那么就可以大大加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這類問題的敏感度.又比如2017年全國Ⅱ卷的不等式選講(1) 問,大家普遍的證明方法都是下文證法一,即將左邊多項(xiàng)式展開后進(jìn)行對(duì)a3+b3的配湊變形,再進(jìn)行證明.下面我們也用柯西不等式的方法進(jìn)行證明,給大家做個(gè)對(duì)比.

例9(2017年高考全國Ⅱ卷) 已知a ＞0,b ＞0,a3+b3=2,證明:

(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b ≤2(證明略).

證法一(1) 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),等號(hào)成立.

證法二(1) 由柯西不等式

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),等號(hào)成立.

在之前敘述的使用基本不等式方法證明的例3第(2) 問,同樣也可以使用柯西不等式的方法來進(jìn)行證明.

例10例3的另一解法.

證明(1) 同例3,略.(2) 由柯西不等式

點(diǎn)評(píng)本題證法二巧妙地將不等式左邊看成平方和關(guān)系,這正與柯西不等式中一邊的平方和關(guān)系相吻合,只需要再構(gòu)造另一組平方和,結(jié)合a+b+c=1,便可以配湊出“柯西不等式體系”,用其進(jìn)行證明.

三、證明思路常見切入點(diǎn)

根據(jù)上述兩個(gè)定理的應(yīng)用與分析,當(dāng)我們遇到不等式的證明問題時(shí),可以先對(duì)不等式的條件,形態(tài)等特征做初步判斷,從而快速找到證明的途徑.筆者就證明問題的切入點(diǎn),作以下歸納: