2019年全國(guó)ⅠⅠ卷第22題探析*——兼談極坐標(biāo)與參數(shù)方程的教學(xué)

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)

一、題目呈現(xiàn)

題目(2019年全國(guó)ⅠⅠ卷第22題) 在極坐標(biāo)系中,O為極點(diǎn),點(diǎn)M(ρ0,θ0)(θ0＞0) 在曲線C:ρ=4 sinθ上,直線l過點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直,垂足為P.

(2) 當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí),求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.

二、試題分析

本題是選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程的內(nèi)容.試題構(gòu)思精巧,重點(diǎn)突出,切入點(diǎn)多.主要考查如何求直線,動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)方程,檢測(cè)考生對(duì)極坐標(biāo)是否有本質(zhì)的了解,是否掌握直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化,是否掌握求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,是否具備思維的嚴(yán)謹(jǐn)性(軌跡方程中變量有一定的限制).試題涉及到兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),一個(gè)是主動(dòng)點(diǎn)M,一個(gè)是從動(dòng)點(diǎn)P,將動(dòng)點(diǎn)問題巧妙地蘊(yùn)含于極坐標(biāo)背景當(dāng)中,增加了試題的難度.考生要能夠順利解決問題必須具有良好的基礎(chǔ)知識(shí)以及邏輯推理能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

三、試題解析

3.1 對(duì)第一步的解析如何求出直線l的極坐標(biāo)方程?

方法1(先求出直角坐標(biāo)方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程) 由于所以因?yàn)橹本€l與OM垂直,所以又直線l過點(diǎn)(4,0),所以直線l方程為整理得所以l的極坐標(biāo)方程為或者

方法2(直接求出極坐標(biāo)方程) 由已知有∠POA=設(shè)直線l上的一點(diǎn)Q(ρ,θ),(ρ ＞0,θ ∈[0,2π]).連接OQ,則三角形OPQ為直角三角形.有以下三種情況:

圖1

圖2

圖3

比較上述兩種解法,第一種方法是先求出直線l的直角坐標(biāo)方程,再借助關(guān)系式x=ρcosθ,y=ρsinθ求出極坐標(biāo)方程.這個(gè)思路是絕大多數(shù)學(xué)生容易想到的,也是絕大多數(shù)學(xué)生優(yōu)先采用的方法.然而相比較于第二種方法直接設(shè)出點(diǎn)直線l上的一點(diǎn)Q(ρ,θ).第一種方法顯得笨拙,繁瑣.第二種方法顯然直截了當(dāng),在運(yùn)算上也大大化簡(jiǎn).然而在實(shí)際解題中,緣何第二種方法被絕大多數(shù)學(xué)生忽略?這與教師對(duì)極坐標(biāo)教學(xué)的方法不當(dāng)有著直接的關(guān)系.在求解圓或者直線的極坐標(biāo)方程時(shí),教師鮮有設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo),然后根據(jù)等量關(guān)系得到極坐標(biāo)方程,而是先求出圓或直線的直角坐標(biāo)方程,然后借助關(guān)系式x=ρcosθ,y=ρsinθ求出極坐標(biāo)方程.這樣的教學(xué)方式不僅抹殺了學(xué)生的創(chuàng)造性思維,對(duì)于今后遇到求動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)方程試題更是不利.因?yàn)橛行┰囶}采用極坐標(biāo)方法求解比采用直角坐標(biāo)方法求解在計(jì)算上是可以大大簡(jiǎn)化的.因此,這就啟發(fā)我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)必須注重采用極坐標(biāo)法求解動(dòng)點(diǎn)極坐標(biāo)方程的講授,既要強(qiáng)調(diào)直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互相轉(zhuǎn)化,又要教會(huì)學(xué)生比較兩者在計(jì)算上的優(yōu)劣,而不是一味地強(qiáng)調(diào)所有試題都可以先轉(zhuǎn)化成為直角坐標(biāo),再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo).

3.2 對(duì)第二步的解析

第二步要求的是點(diǎn)P軌跡的極坐標(biāo)方程.

方法1(先求出點(diǎn)P 軌跡的直角坐標(biāo)方程,再求出極坐標(biāo)方程) 如圖4所示,由PO⊥PA可知點(diǎn)P在以O(shè)A為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),該圓方程為(x-2)2+y2=4.又曲線C:ρ=4 sinθ,故該圓方程為x2+(y-2)2=4.兩圓方程聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)為O(0,0),E(2,2).由于P在線段OM上,且AP⊥OM,所以點(diǎn)P的軌跡方程為(x-2)2+y2=4,0≤x ≤2,0≤y ≤2.又x[=ρco]sθ,y=ρsinθ,故P的極坐標(biāo)方程為

圖4

方法2(直接求出極坐標(biāo)方程) 設(shè)P(ρ,θ),在直角三角形OAP中,顯然有關(guān)系式

對(duì)于第一種方法,點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=4 上運(yùn)動(dòng)是顯然的,但軌跡是并不是整個(gè)圓.如圖4所示,由于P在線段OM上,且AP⊥OM,所以點(diǎn)M只能在圓x2+(y-2)2=4.的右半部份運(yùn)動(dòng).假設(shè)點(diǎn)M在圓x2+(y-2)2=4的左半部份運(yùn)動(dòng),則沒有符合題意的點(diǎn)P.換句話說(shuō),點(diǎn)P的軌跡只能是圓(x-2)2+y2=4 在圓x2+(y-2)2=4 內(nèi)部的一段弧OE.因此聯(lián)立兩個(gè)圓的方程求出兩圓交點(diǎn)O(0,0),E(2,2).從而確定點(diǎn)P的限制條件為0≤x ≤2,0≤y ≤2.至此,不難發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在圓x2+(y-2)2=4的右半部分且在點(diǎn)E(2,2) 上方運(yùn)動(dòng)時(shí),才有符合題意的點(diǎn)P.

圖5

圖6

圖7

在圖5中,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處時(shí),顯然E,M,P三點(diǎn)重合.此時(shí)由于P(ρ,θ) 在直角三角形OAP中,顯然有關(guān)系式ρ=4 cosθ.又點(diǎn)M在曲線C:ρ=4 sinθ上,所以有4 cosθ=4 sinθ,即此時(shí)θ最小.此當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M往上運(yùn)動(dòng)時(shí),顯然θ在增大(圖6),一直到當(dāng)點(diǎn)M在y軸上時(shí)(圖7),點(diǎn)P與點(diǎn)O重合,此時(shí)最大.故

下面借助Geogebra 軟件驗(yàn)證.

圖8

第二步:在圓上取點(diǎn)M,連接OM.

第三步:在輸入框中輸入A=(4,0),構(gòu)造出點(diǎn)A,然后利用工具欄中的垂線按鈕作出過點(diǎn)A且與直線OM垂直的直線AP.

第四步:右擊點(diǎn)P,勾選跟蹤;

第五步:右擊點(diǎn)M,勾選啟動(dòng)動(dòng)畫;觀察發(fā)現(xiàn),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是弧OE.如圖8所示.

不難發(fā)現(xiàn),本步屬于典型的求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問題,只不過是將動(dòng)點(diǎn)問題放置于極坐標(biāo)的背景當(dāng)中,增加了試題的難度.其難點(diǎn)在于如何確定點(diǎn)P的軌跡,如何求出變量的限制條件.解題的關(guān)鍵在于條件“P在線段OM上,且AP⊥OM”,結(jié)合動(dòng)點(diǎn)M本身在圓x2+(y-2)2=4 上運(yùn)動(dòng),確定動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡只能是圓x2+(y-2)2=4的右半部分且在點(diǎn)E(2,2) 上方,確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡只能是圓(x-2)2+y2=4 在圓x2+(y-2)2=4 內(nèi)部的一段弧OE.只有把點(diǎn)M和點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)情況弄清楚了,才能確定極坐標(biāo)方程中θ的限制條件,也才能真正的理解透本道試題,體會(huì)到命題者的良苦用心.這就啟發(fā)我們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)備考時(shí),一定要重視如何求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,必須強(qiáng)調(diào)試題的動(dòng)態(tài)性,要用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)去解決問題,從而理解動(dòng)點(diǎn)軌跡方程中變量的完備性與純粹性.

四、試題變式

變式1(2018年高考全國(guó)ⅠⅠⅠ卷第22題) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O的參數(shù)方程為過點(diǎn)且傾斜角為α的直線l與圓OA,B兩點(diǎn).(1) 求α的取值范圍;(2) 求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.

解析

(2)(方法1) 設(shè)直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為代入x2+y2=1 得

設(shè)A,B,P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tA+tB=

設(shè)P(x,y),則所以

方法2如圖9所示,設(shè)點(diǎn)P在以O(shè)T為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).

圖9

圖10

如圖10所示.所以AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程為

本題第二步也是典型的求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,但是要求的是動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程.方法1是借助直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程求解,方法2是先求出動(dòng)點(diǎn)的直角坐標(biāo)方程,再轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程.在方法2中,由PO⊥PT可知點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng),但軌跡并不是整個(gè)圓.因?yàn)橹本€l與圓OA,B兩點(diǎn),所以點(diǎn)P的軌跡是圓在圓O內(nèi)的一段弧MON,因此必須求出兩圓的交點(diǎn)從而確定進(jìn)一步得到參數(shù)方程

變式2(2017年高考全國(guó)ⅠⅠ卷第22題) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4.

(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足求點(diǎn)P的軌跡C的直角坐標(biāo)方程;

(2) 設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為點(diǎn)B在曲線C2上,求ΔOAB面積的最大值.

解析(1)方法1:設(shè)M(4,y0),P(x,y).則即故由得x2-4x+y2=0(0).

方法2設(shè)P(ρ,θ),M(ρ0,θ),ρ ＞0.由16 得ρ·ρ0=16.又ρ0cosθ=4,所以ρ=4 cosθ.故點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程x2-4x+y2=0(0).

方法3設(shè)直線x=4 與x軸交于N(4,0),ΔONM為直角三角形.由可知NP⊥OM,即OP⊥PN,所以點(diǎn)P在以O(shè)N為直徑的圓上,故點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程x2-4x+y2=0(0).

方法4由得設(shè)M(4,y0),P(x,y).則(x,y) ·(4,y0) =16,即4x+yy0=0.又故點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程x2-4x+y2=0(0).

本題第一步也是典型的求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程方程.方法1是直接求出動(dòng)點(diǎn)的直角坐標(biāo)方程;方法2是設(shè)出點(diǎn)的極坐標(biāo),先求出動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)再轉(zhuǎn)化成為直角坐標(biāo);方法3是充分利用平面幾何性質(zhì)(射影定理) 得到OP⊥PN,從而求出動(dòng)點(diǎn)的直角坐標(biāo)方程;方法4是借助向量的運(yùn)算求解.不管是哪種方法,都是建立在對(duì)圖形直觀把握,整體感知的基礎(chǔ)上,都要特別注意變量的限制條件.

五、教學(xué)啟示

極坐標(biāo)與參數(shù)方程是選修4-4的內(nèi)容.解決極坐標(biāo)與參數(shù)方程的問題主要有兩種方法.第一是將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,參數(shù)方程通過消參轉(zhuǎn)化為普通方程求解;第二是在充分考慮題設(shè)條件的基礎(chǔ)上結(jié)合參數(shù)的幾何意義,以及極坐標(biāo)系下極角,極徑的幾何意義,利用極坐標(biāo)系和參數(shù)方程知識(shí)直接解題.在實(shí)際教學(xué)中,要注重對(duì)基礎(chǔ)的掌握,如直線、圓及橢圓的參數(shù)方程,參數(shù)方程與普通方程的互化,極坐標(biāo)方程與普通方程的互化,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到三種方程不過是對(duì)同一種曲線的不同表述,認(rèn)識(shí)三種方程本質(zhì)的一致性.除此以外,更要注重引導(dǎo)學(xué)生用參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程來(lái)思考,解決問題,強(qiáng)化學(xué)生用極坐標(biāo)與參數(shù)方程的知識(shí)解題的意識(shí),開拓視野,提升數(shù)學(xué)思維能力.最后,要加強(qiáng)對(duì)動(dòng)點(diǎn)軌跡方程試題的訓(xùn)練,尤其是采用多種思路求解同一道動(dòng)點(diǎn)軌跡問題,在此過程中要注意變量的限制條件,培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性.