數(shù)論視角下的2019年全國Ⅰ卷參數(shù)方程選做題

廣東省茂名市第一中學(xué)

一、試題呈現(xiàn)和考情分析

試題呈現(xiàn)(2019年高考全國Ⅰ卷文理第22題) 在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為

以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為

(1) 求C和l的直角坐標方程;

(2) 求C上的點到l距離的最小值.

考情分析2018年廣東文科考生的參數(shù)方程選做題平均分是3.87,而2019年只有2.58 分;2018年廣東理科考生的參數(shù)方程選做題平均分是5.23,而2019年只有3.53 分的.2019年的第22題的第一問,考生很不適應(yīng).雖然考生都知道要消參,可是里面的參數(shù)t太多了,他們無從下手.題目不能用常見的消參數(shù)方法,涉及到難度很大的消參技巧.考生第一問做不出,而第二問又是建立在第一問基礎(chǔ)上的,盡管第二問難度不大,考生也是無題可做.所以第一問就導(dǎo)致了整道題目得分率不高.

二、數(shù)論知識背景和題目解答

不定方程x2+y2=z2叫做商高方程,也叫畢達哥拉斯方程.由于其形式漂亮,歷史上有不少著名科學(xué)家(如畢達哥拉斯、柏拉圖、歐幾里德和我國清朝的羅士琳) 都對它進行過研究.《九章算術(shù)》第九章“勾股”也對勾股定理及其應(yīng)用進行了講解.

筆者最喜歡羅士琳的這個結(jié)果,很多初等數(shù)論教材也編入了這個結(jié)果,比如潘承洞和潘承彪編著的《初等數(shù)論》.當(dāng)n=1時,它是柏拉圖的結(jié)果即(m2-1)2+(2m)2=(m2+1)2.等式兩邊同時除以m2+1,得也即

三、題目推廣

推廣1將中等式右邊的4 推廣到任意非零實數(shù)a,也即參數(shù)方程為將其配方成的形式所以化為普通方程就是1.化簡得這也是[3]中的一道題目.

推廣2推廣1 只是中n=1 情形的簡單推廣,也可令n=2,n=3,···,甚至可以取n為任何實數(shù).

求其普通方程.

由上面分析過程可知答案為x2+y2=1(1).

如果我們想將3x,2y，推廣到ax,by(00),那么我們可以將參數(shù)方程改為此時普通方程就是(ax)2+(by)2=1

當(dāng)然我們也可以通過分子分母互換,調(diào)整系數(shù)等等來命題,感興趣的讀者可以變變花樣來玩一玩.

推廣3推廣2是在的兩邊同時除以(m2+n2)2得到的,形式是X2+Y2=1,它是圓或者橢圓形式,那我們也可以在的兩邊同時除以(m2-n2)2或(2mn)2,分別可以得到和這兩個式子結(jié)構(gòu)是一樣的,都可化為形如X2-Y2=1的雙曲線形式.所以兩個式子我們研究其中一種即可,不妨研究第一個式子,將其移項得也即參數(shù)方程為那么對應(yīng)的普通方程為x2-y2=1.

類比推廣2,我們也可以將題目難度逐步提升,先令n為任一確定的實數(shù),比如時,得到下表.

表1 變式題解題步驟

四、一個副產(chǎn)品以及應(yīng)用

由于商高方程x2+y2=z2的正整數(shù)解為其中m,n,都是正整數(shù),且m ＞n.由于y=2mn一定為偶數(shù),我們馬上可以得到一個副產(chǎn)品.

定理邊長均為整數(shù)的直角三角形,至少有一條直角邊的邊長為偶數(shù).

下面我們用這個定理來快速解答一道北京大學(xué)自主招生題目.

題目(2019年北京大學(xué)自主招生) 已知x,y為整數(shù),若(x2+x+1)2+(y2+y+1)2為完全平方數(shù),則數(shù)對(x,y) 有( )組.

A.0 B.1 C.無窮多 D.以上全錯

解令(x2+x+1)2+(y2+y+1)2=m2,則x2+x+1和y2+y+1是邊長為整數(shù)的直角三角形的兩條直角邊.由定理可知,它們至少有一個為偶數(shù).但是,由于x(x+1) 為兩個相鄰整數(shù)的積,其必為偶數(shù),所以x2+x+1=x(x+1)+1必為奇數(shù).同理y2+y+1 也是奇數(shù),與它們至少有一個為偶數(shù)矛盾.所以無解,選A.