由一道?？碱}引發(fā)的思考與探究*

廣東省江門市新會陳經(jīng)綸中學(xué)

一道高三模擬試題,因為學(xué)生的疑問,引發(fā)了筆者的釋疑、思考、探究和感悟,并因此體會到了作為教師“教學(xué)無止境”和“教學(xué)相長”的快樂.

一、問題的提出

在2019年江門市第一次模擬考試結(jié)束后,筆者在課上評講了下面這道試題:

例1(2019年江門市第一次模擬考試第10題) 在直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線1(a,b ＞0)與拋物線y2=2bx相交于A,B兩點,若ΔOAB是等邊三角形,則雙曲線的離心率e=( )

圖1

教師給出的解法如圖1,由題意設(shè)ΔOAB的邊長為2m,則將A坐標(biāo)分別代入兩個曲線方程,得所以從而故選D.

課后,我班科代表眉頭緊鎖的來到辦公室,問:“老師,您剛才講的第10題,我有不同的想法,但解不出來,不知道怎么回事?”

學(xué)生的解法設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),不妨設(shè)yA ＞0,yB ＜0.聯(lián)立方程

消y得:

兩種方法的答案不一致.我問:“你確定計算無誤嗎?”學(xué)生:“我和幾個同學(xué)都算過好幾遍了,應(yīng)該沒有錯!”我檢查了一遍學(xué)生的解法,確認(rèn)計算沒有問題,而且整個過程也合理.怎么回事呢?于是,我回憶了我做該題的思考過程: 按照經(jīng)驗,聯(lián)立兩個二次曲線的方程通常計算量大,所以盡量回避,利用等邊三角形的性質(zhì)巧妙的設(shè)出點A坐標(biāo),代入兩個方程得出a,b關(guān)系,進而得到e.事實上,因為有直線與二次曲線相關(guān)問題的解題經(jīng)驗,科代表的想法才是更自然的想法,應(yīng)該也代表了不少同學(xué)的真實想法.是這種方法行不通,還是中間環(huán)節(jié)出了問題?

二、問題的初步解決

為了解答學(xué)生的疑問,我們需要考慮如下兩個問題:

問題1方程(3)一定有解嗎?若有,有幾個?

問題2真的是方程組的解嗎?

首先考慮問題1.由于Δ=4a4+4a2b2＞0,所以(3)有兩個互異根,不是xA=xB.

這樣能得到正確結(jié)果!因此,可以斷定,問題出在聯(lián)立方程(1)(2) 得方程(3),利用韋達定理求xA上.究其原因是方程(1)(2) 轉(zhuǎn)化方程(3) 的過程中并不等價,例如: 由仍然能得到方程(3),所以方程(3)的根不一定是方程(1)(2)的根,也即是出現(xiàn)了增根的情況,導(dǎo)致之后用韋達定理得到錯誤的xA.分析到這里,學(xué)生略帶興奮地說:“原來是這樣!以后遇到兩個二次曲線相關(guān)問題時,我可不敢聯(lián)立方程去做了.”我說:“你只是說對一半,不是不敢,只是要慎重!”學(xué)生心滿意足地走了,緊皺的眉頭早已舒展開了.

三、問題的進一步探究

學(xué)生離開后,我卻陷入了沉思,為什么會出現(xiàn)問題1和問題2的奇怪現(xiàn)象呢?應(yīng)該怎么解決?筆者通過一番思考探索,得到了一些粗淺的認(rèn)識.

回到問題1,我們自然會想:為什么利用判別式可以判定直線與二次曲線的位置關(guān)系,而對于兩條二次曲線卻失效了呢?原因是由方程組消y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用判別式Δ＞0 只能說明x有解,而不能確保y有解.因此,在保證x有解的前提下,讓y也有解就可以了.從函數(shù)的觀點來看,為了使方程在某個范圍內(nèi)有解,就是要對應(yīng)的函數(shù)在該區(qū)間有零點.基于上述分析,我們用判別式結(jié)合零點分布來解決兩條二次曲線的位置關(guān)系問題,不妨稱之為“判別式+零點分布法”,下面舉例說明.

例2拋物線x2=2y與橢圓x2+4(y-a)2=4 有公共點,求a的取值范圍.

解聯(lián)立方程消去x,得:

令f(y)=2y2+(1-4a)y+2a2-2.在方程x2=2y中,y ≥0,要使拋物線x2=2y與橢圓x2+4(y-a)2=4 有公共點,方程(*) 需滿足:一根在[0,+∞),另一根在(-∞,0)或兩根都在[0,+∞).所以,f(0)≤0或解得:-1≤a ≤1或故a的取值范圍為:

借助上面的“判別式+零點分布法”,我們從另外一個角度看問題2 出現(xiàn)增根的原因:

聯(lián)立(1)(2) 消去x得:

令t=y2(t ≥0),則方程(4) 化為t2-4a2t-4a2b2=0.設(shè)該方程的解為t1,t2(t1＜t2).

又令f(t) =t2-4a2t-4a2b2,則f(t) 在[0,+∞) 有解,顯然Δ＞0,f(0) =-4a2b2＜0,故所顯然不符合).

以上是解決兩條二次曲線的交點問題的一種思路,有沒有更簡便的方法呢?下面嘗試?yán)脠A錐曲線的參數(shù)方程來處理問題,稱之為“參數(shù)法”.

例3(例2的另解) 橢圓x2+4(y-a)2=4的參數(shù)方程為代入拋物線方程x2=2y得:4 cos2θ=2(a+sinθ),所以

因為θ ∈[0,2π),所以所以

例4分別求圓的半徑r的取值范圍,使橢圓x2+4y2=4與圓(x-1)2+y2=r2分別無公共點,有1個,2個,3個,4個公共點.

解橢圓x2+4y2=4的參數(shù)方程為代入圓方程得:

圖2

r2=(2 cosθ-1)2+sin2θ=3 cos2θ-4 cosθ+2 =3因為θ ∈[0,2π) 所以cosθ ∈[-1,1],從而即當(dāng)時,橢圓與圓有公共點.結(jié)合圖2可知,當(dāng)r取最值時橢圓與圓相切.故當(dāng)或r ＞3時,無公共點;當(dāng)r=3時,有1個公共點;當(dāng)或1＜r ＜3時,有2個公共點,當(dāng)r=1時,有3個公共點;當(dāng)時,有4個公共點.

四、感悟

教師通常有較多的解題經(jīng)驗,容易找到解題的正確道路或更優(yōu)的方法.但是,對學(xué)生來說,有一些“自然的想法”,不一定很完善,有時甚至?xí)苈闊?而且部分學(xué)生喜歡“打破沙鍋問到底”.對此,教師不能回避或簡單否定,應(yīng)該予以因勢利導(dǎo),答疑解惑,反之,不僅會打擊學(xué)生的“勇于探究”的積極性,還可能錯過了發(fā)現(xiàn)新問題新方法的機會,培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)也就無從談起.在本次教學(xué)經(jīng)歷中,正是由學(xué)生這種“追根求源”的精神激發(fā)了筆者地思考探索,從而加深了對兩條二次曲線位置關(guān)系問題的理解,如果說學(xué)生在這個過程中得到了成長,于我又何嘗不是呢?真所謂“教學(xué)相長”也!