直接有限環(huán)的若干擴(kuò)張

馬廣琳， 王 堯， 任艷麗

(1.南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 南京 210044；2.南京曉莊學(xué)院 信息工程學(xué)院，江蘇 南京 211171)

本文假定所研究的環(huán)R都是有單位元1的結(jié)合環(huán)(除非另有說明)。稱環(huán)R為直接有限環(huán)[1](也稱為直有限環(huán)或戴德金有限環(huán))，若對任意的a,b∈R,當(dāng)ab=1時，則有ba=1。交換環(huán)顯然是直接有限環(huán)。稱環(huán)R為穩(wěn)定有限環(huán)[2]，若R上的全體各級全矩陣環(huán)都是直接有限環(huán)。有關(guān)直接有限環(huán)的最早研究參見文獻(xiàn)[3-5]。稱環(huán)R為對稱環(huán)[6]，若對任意的a,b,c∈R，由abc=0可以推出acb=0。稱環(huán)R為可逆環(huán)[7]，若對任意的a,b∈R，由ab=0可以推出ba=0。稱環(huán)R為半交換環(huán)[8]，若對任意的a,b∈R，由ab=0可以推出aRb=0。稱環(huán)R為2-素環(huán)，若R中冪零元素集合與素根相等。由文獻(xiàn)[9，定理1.3]，約化環(huán)(即環(huán)沒有非零的冪零元)是對稱環(huán)，對稱環(huán)顯然是可逆環(huán)。由文獻(xiàn)[6，命題1.3]，可逆環(huán)是半交換環(huán)，但這些推導(dǎo)是不可逆的(參見文獻(xiàn)[9，10])。并且，若環(huán)中沒有單位元1，則對稱環(huán)未必是可逆環(huán)[11]。由文獻(xiàn)[8]，半交換環(huán)是2-素環(huán)，2-素環(huán)又是直接有限環(huán)[12]。因此約化環(huán)、對稱環(huán)、可逆環(huán)、半交換環(huán)都是直接有限環(huán)。近年來，文獻(xiàn)[13，14]研究了直接有限環(huán)的一些刻畫和其與相關(guān)環(huán)的關(guān)系。本文主要討論直接有限環(huán)的一些擴(kuò)張性質(zhì)，如理想擴(kuò)張、Dorroh擴(kuò)張、Nagata擴(kuò)張、Jordon擴(kuò)張等。

1 直接有限環(huán)的擴(kuò)張

命題1.1設(shè)R是直接有限環(huán)，則R的含單位元1的子環(huán)也是直接有限環(huán)。

(1)R的子環(huán)是直接有限環(huán)；

(2)R的同態(tài)像是直接有限環(huán)。

命題1.2設(shè){Rγ|γ∈Γ}是一族環(huán)，則R=Πγ∈ΓRγ是直接有限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個Rγ是直接有限環(huán)。

證明設(shè)R是直接有限環(huán)，aγ,bγ∈Rγ滿足aγbγ=1，則有α=(aγ)γ∈Γ，β=(bγ)γ∈Γ∈R使得αβ=(1γ)γ∈Γ。因為R是直接有限環(huán)，所以βα=(1γ)γ∈Γ，從而對任意的γ∈Γ，bγaγ=1，這推出每個Rγ是直接有限環(huán)。

反之，設(shè)每個Rγ是直接有限環(huán)，α=(aγ)γ∈Γ，β=(bγ)γ∈?！蔙滿足αβ=(1γ)γ∈Γ，則

對任意的γ∈Γ，aγbγ=1。因為Rγ是直接有限環(huán)，所以bγaγ=1，故βα=(1γ)γ∈Γ，這推出R是直接有限環(huán)。

設(shè)D是一個環(huán)，C是D的子環(huán)且1D∈C，令

R[D,C]={(d1,…,dn,c,c…)|di∈D,c∈C,n≥1}

R{D,C}={(d1,…,dn,cn+1,cn+2,…)|di∈D,cj∈C,n≥1}

在R{D,C}上按對應(yīng)分量定義加法和乘法，則R{D,C}作成一個有單位元的環(huán)。顯然R[D,C]是R{D,C}的一個子環(huán)。

命題1.3R{D,C}是直接有限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)D是直接有限環(huán)。

設(shè)R是一個環(huán)，R[[x]]表示R上的形式冪級數(shù)環(huán)。設(shè)α是環(huán)R上的一個非零自同態(tài)。R[[x;a]]的元素形式和加法運(yùn)算與形式冪級數(shù)環(huán)R[[x]]一致，乘法運(yùn)算定義為xr=α(r)x,r∈R，則R[[x;a]]按上述運(yùn)算構(gòu)成一個環(huán)，稱為斜冪級數(shù)環(huán)。

定理1.1設(shè)R是環(huán)，α是R上的一個自同態(tài)且α(1)=1，則R[[x;α]]是直接有限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是直接有限環(huán)。

證明必要性是顯然的，下證充分性。

設(shè)R是直接有限環(huán)，f(x),g(x)∈R[[x;α]]，滿足f(x)g(x)=1，令

f(x)=a0+a1x+a2x…,g(x)=b0+b1x+b2x2+…,

則

a0b0=1

(1)

a0b1+a1α(b0)=0

(2)

a0b2+a1α(b1)+a2α2(b0)=0

(3)

a0b3+a1α(b2)+a2α2(b1)+a3α3(b0)=0

(4)

…………

因為R是直接有限環(huán)，所以b0a0=1。由(2)式得b1=-b0a1α(b0)，a1=-a0b1α(a0)。由b0×(2)×α(a0)得b0a1+b1α(a0)=0。由(3)式得b2=-b0(a1α(b1)+a2α2(b0))。將b1代入b0×(3)×α2(a0)得b0a2+b1α(a1)+b2α2(a0)=0。再將b1,a1,b2代入b0×(4)×α3(a0)得b0a3+b1α(a2)+b2α2(a1)+b3α3(a0)=0，如此繼續(xù)下去，可得g(x)f(x)=1，這推出R[[x;α]]是直接有限環(huán)。

推論1.1R[[x]]是直接有限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是直接有限環(huán)。

設(shè)R是一個環(huán)，α是環(huán)R上的一個自同態(tài)，n是正整數(shù)，Nasr-Isfahani在文獻(xiàn)[15]中定義斜三角矩陣環(huán)為

其中加法為矩陣的加法，乘法定義為：

其中ci=a0α0(bi)+a1α1(bi-1)+…+aiαi(b0)，0≤i≤n-1。可將Tn(R,α)的元素表示為(a0,a1,…,an-1)，且存在環(huán)同構(gòu)φ：R[x;α]/(xn)→Tn(R,α)，φ(a0+a1x+…an-1xn-1+(xn))=(a0,a1,…,an-1),ai∈R,0≤i≤n-1，因此Tn(R,α)?R[x;α]/(xn)。

推論1.2設(shè)R是環(huán)，α是R上的一個自同態(tài)且α(1)=1，則Tn(R,α)是直接有限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是直接有限環(huán)。

推論1.3設(shè)R是環(huán)，α是R上的一個自同態(tài)且α(1)=1，則環(huán)R[x;α]/(xn)是直接有限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是直接有限環(huán)。

定理1.2環(huán)T(R,M)是直接有限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是直接有限環(huán)。

證明設(shè)R是直接有限環(huán)，(a1,m1),(a2,m2)∈T(R,M)，滿足(a1,m1)(a2,m2)=(1,0)，則有

a1a2=1

(1)

a1m2+m1a2=0

(2)

依假設(shè)得a2a1=1。由a2×(2)×a1可得m2a1+a2m1=0，從而

(a2,m2)(a1,m1)=(a2a1,a2m1+m2a1)=(1,0)，

這推出T(R,M)是直接有限環(huán)。

反之，T(R,M)是直接有限環(huán)，a1,a2∈R滿足a1a2=1，則有(a1,0),(a2,0)∈T(R,M)且(a1,0)(a2,0)=(1,0)，從而(a2,0)(a1,0)=(1,0)，故a2a1=1，這推出R也是直接有限環(huán)。

設(shè)R是一個環(huán)，V是一個(R,R)-雙模，且V是一個一般環(huán)(未必有單位元1)，滿足(vw)r=v(wr)，(vr)w=v(rw)和(rv)w=r(vw)，對所有的v,w∈V和r∈R。稱環(huán)I(R;V)=R⊕V為R通過V的理想擴(kuò)張，其中加法為通常加法，乘法滿足(r,v)(s,w)=(rs,rw+vs+vw)。

定理1.3設(shè)S=I(R;V)是R通過V的理想擴(kuò)張，若R是直接有限環(huán)且V2=0，則S是直接有限環(huán)。

證明設(shè)R是直接有限環(huán)且V2=0，(r1,v1),(r2,v2)∈D滿足(r1,v1)(r2,v2)=(1,0)，則有

r1r2=1

(1)

r1v2+v1r2+v1v2=0

(2)

依假設(shè)得r2r1=1，且

r1v2+v1r2=0

(3)

由r2×(3)×r1可得v2r1+r2v1=0，從而

(r2,v2)(r1,v1)=(r2r1,r2v1+v2r1+v2v1)=(r2r1,r2v1+v2r1)=(1,0)，

這推出S是直接有限環(huán)。

設(shè)環(huán)R(未必有單位元1)是交換環(huán)S上的代數(shù)，稱環(huán)R×S是R通過S的Dorroh擴(kuò)張，其加法為對應(yīng)分量相加，乘法為(r1,s1)(r2,s2)=(r1r2+s1r2+s2r1,s1s2)，其中ri∈R，si∈S。特別地，當(dāng)Dorroh擴(kuò)張中的交換環(huán)S是整數(shù)環(huán)Z時，稱R×Z為R的代數(shù)擴(kuò)張，記為R*。

推論1.4設(shè)S是交換環(huán)，R是冪零環(huán)且是S上的代數(shù)，D是R通過S的Dorroh擴(kuò)張，若R2=0，則D是直接有限環(huán)。

推論1.5設(shè)R是環(huán)，若R2=0，則R的代數(shù)擴(kuò)張R*是直接有限環(huán)。

Nagata在文獻(xiàn)[16]中，設(shè)環(huán)R是一個交換環(huán)，M是左R-模，σ是環(huán)R的一個自同態(tài)，稱環(huán)R⊕M是R通過M與σ的Nagata擴(kuò)張，其中加法為對應(yīng)分量相加，乘法滿足(r1,m1)(r2,m2)=(r1r2,σ(r1)m2+r2m1)。

定理1.4設(shè)R是一個交換環(huán)，M是左R-模，σ是環(huán)R的一個自同態(tài)，N是R通過M與σ的Nagata擴(kuò)張，若σ(1)=1,則N是直接有限環(huán)。

證明設(shè)σ(1)=1，(r1,m1),(r2,m2)∈N滿足(r1,m1)(r2,m2)=(1,0)，則

r1r2=1

(1)

σ(r1)m2+r2m1=0

(2)

因為R是交換環(huán)，所以r2r1=1。由r1×σ(r2)×(2)得r1σ(r2)σ(r1)m2+r1σ(r2)r2m1=0。又σ(1)=1，從而有r1m2+σ(r2)m1=0，故(r2,m2),(r1,m1)=(r2r1,σ(r2)m1+r1m2)=(1,0)，因此N是直接有限環(huán)。

定理1.5設(shè)R是環(huán)，α是R上的一個單同態(tài)，A是R的Jordan擴(kuò)張，若α(1)=1，則A是直接有限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是直接有限環(huán)。

證明必要性是顯然的，下證充分性。

設(shè)R是直接有限環(huán)，a,b∈A滿足ab=1，那么一定存在正整數(shù)n和m，使得αn(a)，αm(b)∈R。令l=m+n，則有αl(a),αl(b)∈R且αl(a)αl(b)=αl(ab)=1。因為R是直接有限環(huán)，所以αl(b)αl(a)=1又α是一個單同態(tài)且α(1)=1,故ba=1，這推出A是直接有限環(huán)。

環(huán)范疇中的一個直系統(tǒng){Aα,φαβ|α,β∈I}的直極限就是一個對(A,(ηα)α∈I)，其中A是一個環(huán)，任意的α∈I,ηα:Aα→A是單同態(tài)，它們滿足：

a=ηα(aα)=ηkφαk(aα)和b=ηβ(aβ)=ηkφβk(bβ)，

從而ab=ηkφαk(aα)ηkφβk(bβ)=ηk(φαk(aα)φβk(aβ))=1。又ηk是一個單同態(tài)且ηα(1Aα)=1A，那么φαk(aα)φβk(bβ)=1。因為φαk(aα),φβk(bβ)∈Ak，又Ak是直接有限環(huán)，則φβk(bβ)φαk(aα)=1，進(jìn)而1=ηk(φβk(bβ)φαk(aα))=ηkφβk(bβ)ηkφαk(aα)=ηβ(bβ)ηα(aα)=ba，這推出A是直接有限環(huán)。