核心探討：解析幾何與向量綜合問題

蓋峰峰

[摘 ?要] 向量與解析幾何均是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識，兩者相互獨(dú)立又有著極大的關(guān)聯(lián)，高考常從兩者綜合角度來命制考題，同時利用向量方法也可以對考題進(jìn)行突破.文章結(jié)合實(shí)例深入探討向量在解析幾何問題中的突破應(yīng)用，并探究綜合題的求解思路，提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;向量;簡化;位置關(guān)系

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，其中的曲線方程、位置關(guān)系、復(fù)合圖形等知識點(diǎn)對于提升學(xué)生的思維有著極大的作用. 而向量作為具有雙重身份的特殊內(nèi)容，可以有效將“數(shù)”與“形”融合起來，也可作為數(shù)學(xué)工具來解析問題.向量與解析幾何之間具有極大的關(guān)聯(lián)，高考命題時常見兩者結(jié)合起來，既能考查學(xué)生對兩大知識模塊的理解，又能考查學(xué)生對知識關(guān)聯(lián)的掌握情況. 學(xué)習(xí)解析幾何與向量綜合內(nèi)容時需要從兩個方面進(jìn)行：一是掌握向量作為解題工具在解析幾何中的應(yīng)用;二是掌握向量與解析幾何綜合題的突破方法.

向量應(yīng)用探討

向量具有代數(shù)與幾何的雙重特性，既可以表示大小，又可表示方向，在解析幾何中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個方面：一是利用向量的大小性來簡化運(yùn)算過程;二是利用向量的方向性來轉(zhuǎn)化位置關(guān)系. 其中前者在應(yīng)用時需要熟識向量表示線段大小的方法以及相關(guān)的運(yùn)算法則，后者則需要掌握向量對幾何垂直、共線和平行的體現(xiàn)方法.

1. 利用向量的大小性來簡化運(yùn)算過程

向量可以表示線段大小，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可以簡捷地求解解析幾何問題，例如求解距離、線段長、面積等，同時利用向量也可以有效轉(zhuǎn)化問題，降低思維難度，簡化計算過程.

例1：已知點(diǎn)P是直角坐標(biāo)系中的一個動點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（x0，y0），直線l的解析式為Ax+By+C=0（A2+B2≠0），試求證點(diǎn)P到直線l的距離為 .

分析與證明：本題目屬于解析幾何中的距離求證題，求證點(diǎn)到直線的距離公式可以利用向量的投影，設(shè)直線上一點(diǎn)為Q（x1，y1），連接PQ，如圖1所示，點(diǎn)P到直線l的距離d就為 在直線l的法向量上投影的絕對值，后續(xù)只需要求其投影即可.

設(shè)直線l的法向量n=（A，B），則d= = . 由于點(diǎn)Q（x1，y1）位于直線l上，必然滿足其解析式，即Ax1+By1+C=0，代入簡化可得d= ，即點(diǎn)P到直線l的距離為 ，證畢.

評析：點(diǎn)到直線的距離公式在解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用，上述實(shí)際上是關(guān)于該公式的向量法證明，利用該方法可以避免直線斜率是否存在的討論，充分體現(xiàn)出向量處理線段問題的優(yōu)勢. 但利用向量投影過程中需要充分理解概念，把握知識之間的關(guān)聯(lián).

2. 利用向量的方向性轉(zhuǎn)化位置關(guān)系

向量具有方向性，不僅表現(xiàn)在單向量上，同時在向量運(yùn)算中有著充分的體現(xiàn)，充分分析向量運(yùn)算可以提煉出幾何位置關(guān)系，包括幾何垂直、共線、平行等，因此在求解解析幾何問題時可以充分利用向量對幾何關(guān)系的體現(xiàn)來轉(zhuǎn)化問題，實(shí)現(xiàn)問題的代數(shù)解答.

例2：已知⊙O：x2+y2=16外有一定點(diǎn)M（2，-6），作一直線AB，使其與⊙O相交，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為C，試求點(diǎn)C的軌跡方程，并說明軌跡曲線的類型.

分析與解：分析可知AB是⊙O的弦，由于點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，若連接OC，則可得OC⊥AB，從而可提煉出其中的垂直關(guān)系，求解點(diǎn)C的軌跡方程則可以引入向量，利用向量運(yùn)算與線段垂直之間的聯(lián)系來加以突破.

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），可得 =（x，y）， =（x-2，y+6）. 由OC⊥AB可進(jìn)一步知OC⊥MC，則 · =0. 由向量坐標(biāo)運(yùn)算可得（x-1）2+（y+3）2=10，即點(diǎn)C的軌跡為以（1，-3）為圓心， 為半徑的一段圓弧.

評析：上述是關(guān)于向量積為零對幾何垂直的應(yīng)用體現(xiàn)，幾何垂直的表示方式有很多，可以借助兩線斜率之積為-1——k2·k2=-1，也可以直線所在向量之積為零——m·n=0，但后者可以避開對直線斜率的討論. 另外在學(xué)習(xí)時需要掌握幾何共線、平行的向量表示方法，提升求解問題的靈活性.

綜合問題探究

向量與解析幾何之間有著極高的關(guān)聯(lián)性，這也是高考的重要考查點(diǎn)，高考中常以點(diǎn)坐標(biāo)為媒介，串聯(lián)向量與曲線來命制綜合問題. 該類綜合題破解前提均為：深刻理解向量與解析幾何之間的知識關(guān)聯(lián)，突破時可以采用兩種思路：一是利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來轉(zhuǎn)化問題或條件;二是利用向量來構(gòu)建幾何關(guān)系，通過向量運(yùn)算來探究結(jié)論.

例3：已知橢圓C： +y2=1，點(diǎn)F1和F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，試回答下列問題.

（1）若點(diǎn)P是橢圓C上的一個動點(diǎn)，試求 · 的最值;

（2）直線l經(jīng)過定點(diǎn)M（0，2），與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)O為坐標(biāo)的原點(diǎn)，∠AOB為銳角，直線l的斜率為k，試求k的取值范圍.

分析：本題目為解析幾何綜合題，其中涉及直線、橢圓、平面向量數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的知識綜合和推理計算能力，破解時需要從點(diǎn)坐標(biāo)入手，把握幾何、函數(shù)與向量之間的關(guān)聯(lián)，逐步轉(zhuǎn)化問題條件.

解：（1）根據(jù)橢圓方程易知a=2，b=1，c= ，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為：F1（- ，0）和F2（ ，0）.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則 · =（- -x，-y）·（ -x，-y）=x2+y2-3= （3x2-8），其中x的取值范圍為[-2，2]. 顯然當(dāng)x=0時，點(diǎn)P位于橢圓短軸端點(diǎn)處時 · 取得最小值-2;當(dāng)x=±2時，點(diǎn)P位于橢圓長軸端點(diǎn)處時 · 取得最大值1.

（2）當(dāng)直線x=0時不滿足題設(shè)條件，可將直線l的方程設(shè)為y=kx+2，與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓方程，整理可得k2+ x2+4kx+3=0.由韋達(dá)定理可得x1+x2=- ，x1·x2= ，由Δ=4k2-3>0可得k<- 或者k> ①.

∠AOB為銳角，則0<∠AOB<90°，可推得cos∠AOB>0，所以 · >0，即 · =x1·x2+y1·y2>0，其中y1·y2=k2x1·x2+2k（x1+x2）+4= ，代入可得 + >0，可解得k2<4，即-2

綜合①和②，可得-2

上述解析幾何考題有兩問，求解突破時均是基于解析幾何與向量之間的關(guān)聯(lián)，但采用了不同的策略，第（1）問利用坐標(biāo)運(yùn)算來轉(zhuǎn)化向量積，從而構(gòu)建了與坐標(biāo)參數(shù)相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)來求最值;而第（2）問則是逆向使用向量，基于銳角條件來構(gòu)建向量關(guān)系，然后利用向量運(yùn)算來分析斜率取值. 向量與解析幾何有著眾多交匯點(diǎn)，解題時需要靈活使用向量與解析幾何的關(guān)聯(lián)知識來轉(zhuǎn)化求解.

關(guān)于問題的思考

解析幾何與向量作為高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，從知識綜合角度進(jìn)行整合突破有著現(xiàn)實(shí)的意義，而在實(shí)際學(xué)習(xí)中需要重點(diǎn)關(guān)注向量式的幾何意義，掌握利用向量來分析問題的方法策略，下面提出幾點(diǎn)建議.

1. 把握試題導(dǎo)向，深度整合問題

涉及向量的解析幾何問題十分眾多，開展考題探究需要從多變的試題中提取不變規(guī)律. 而高考真題是眾多優(yōu)秀教師深思熟慮、細(xì)致斟酌命制的，在教學(xué)中需要教師充分研究這些經(jīng)典考題，利用考題來把握命題風(fēng)向. 以向量與解析幾何問題為例，需要整合問題中向量的轉(zhuǎn)化策略，探究向量與函數(shù)、方程、曲線的關(guān)聯(lián)，明晰利用向量的幾何意義求解解析幾何相關(guān)問題的思路，提升學(xué)生解題的靈活性.

2. 注重教學(xué)基礎(chǔ)，強(qiáng)化基本技能

與向量相關(guān)的解析幾何問題具有極高的綜合性，但綜合問題突破的基礎(chǔ)依然是教材中的基礎(chǔ)知識和基本技能.求解該類問題需要學(xué)生熟練掌握向量運(yùn)算法則、幾何意義、幾何性質(zhì)和曲線方程等內(nèi)容，同時積累一些分析技巧和簡化方法，提升問題突破效率.在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)立足基礎(chǔ)知識，使學(xué)生辨析概念、定義，特別關(guān)注向量的基本定理、向量的線性表示法、坐標(biāo)法等，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行定理公式整合，形成系統(tǒng)的知識體系.

3. 強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合，提升數(shù)學(xué)思想

向量具有代數(shù)與幾何的雙重特性，而解析數(shù)形內(nèi)容最為有效的方法是數(shù)形結(jié)合，合理使用數(shù)形結(jié)合不僅可以轉(zhuǎn)化解析幾何中的向量問題，還可以借用向量來轉(zhuǎn)化解析幾何. 數(shù)形結(jié)合求解解析幾何問題時需要把握兩個關(guān)鍵點(diǎn)：一是把握圖形的直觀性，從形的角度揭示問題中的幾何本質(zhì);二是把握函數(shù)的準(zhǔn)確性，從數(shù)的角度來嚴(yán)謹(jǐn)推理問題結(jié)論.以涉及向量的解析幾何問題為例，可以利用向量運(yùn)算來轉(zhuǎn)化其中的幾何關(guān)系，也可以利用向量的幾何意義來轉(zhuǎn)化問題中的幾何條件. 實(shí)際上數(shù)形結(jié)合是一種重要的思想方法，該思想方法對于提升學(xué)生的思維品質(zhì)有著極大的幫助，教學(xué)中需要教師重點(diǎn)關(guān)注，深入引導(dǎo).