對(duì)一個(gè)拋物線問(wèn)題的追根溯源

周躍佳

[摘 ?要] 文章嘗試解決一道拋物線問(wèn)題并進(jìn)行推廣，從圓錐曲線的角度進(jìn)行一般化探究，收到了較好的效果，并對(duì)圓錐曲線試題的命制提供了更廣闊的思路.

[關(guān)鍵詞] 拋物線;圓錐曲線;一般化

問(wèn)題

筆者在新型冠狀病毒防控期間的線上答疑時(shí)遇到了這個(gè)問(wèn)題，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行解答探究的同時(shí)，對(duì)問(wèn)題追根溯源，得到了圓錐曲線的一般化結(jié)論，并對(duì)圓錐曲線試題的命制提供了更廣闊的思路.

題目：已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且不垂直x軸的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，則 =________.

解答：設(shè)直線l為拋物線的準(zhǔn)線，過(guò)點(diǎn)A，B分別作直線l的垂線，垂足分別為A1，B1，線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D. 設(shè)AB的傾斜角為θ，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AA1，交BE⊥AA1于E. 由拋物線的定義可得：AF=AA1，BF=BB1，所以AF-BF=AA1-BB1=AE.又AD=BD，AF-BF=（AD+DF）-（BD-DF）=2DF，所以AE=2DF，cosθ= = ，從而 = = .

從以上解答過(guò)程可以看出，結(jié)果與拋物線的方程沒(méi)有關(guān)系，y2=2px中無(wú)論p為何值， 結(jié)果都為 ，那么這個(gè)問(wèn)題是不是就沒(méi)有什么研究?jī)r(jià)值了呢？不然，這個(gè)問(wèn)題背后藏著寶藏??？搖？搖？搖？搖？搖

推廣

通過(guò)GeoGebra畫(huà)圖軟件作圖和計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，在橢圓和雙曲線中，相應(yīng)的 值不再是 ，而是隨著離心率e在變化，但在變中蘊(yùn)藏著不變. 圖2中顯示的是當(dāng)橢圓離心率為0.7時(shí)， =0.35，圖3中顯示的是當(dāng)雙曲線離心率為1.34時(shí)， =0.67. 可以猜想到： = ，當(dāng)我們?nèi)我庾兓瘓A錐曲線時(shí)，依然存在以上關(guān)系，當(dāng)曲線為拋物線時(shí)，離心率e=1，也適合這個(gè)結(jié)論.

通過(guò)探究我們可以得到圓錐曲線關(guān)于焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)弦中垂線的有關(guān)性質(zhì).

性質(zhì)1：已知拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且不垂直x軸的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，則 = = （e為拋物線的離心率）.

性質(zhì)2：已知橢圓 + =1（a>b>0），其中一個(gè)焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且不垂直x軸的直線與橢圓交于點(diǎn)A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，則 = （e為橢圓的離心率）.

證明：在△AFF2中，設(shè)AF=m，AF2=2a-m，由余弦定理知，

（2a-m）2=（2c）2+m2-4cmcosθ，

化簡(jiǎn)得：AF=m= ，同理可得：

BF= . 又由于AD=BD，

AF-BF=（AD+DF）-（BD-DF）=2DF，

所以DF= ，

故FC= = ，

而AB= ，所以 = .

也可以利用橢圓的第二定義，類似拋物線的方法證明.

性質(zhì)3：已知橢圓 + =1（a>b>0），其中一個(gè)焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且不垂直y軸的直線與橢圓交于點(diǎn)A，B，線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)C，則 = （e為橢圓的離心率）.

性質(zhì)3類似于性質(zhì)2可證，此處從略.

性質(zhì)4：已知雙曲線 - =1（a>b>0），其中一個(gè)焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且不垂直x軸的直線與雙曲線交于點(diǎn)A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，則 = （e為雙曲線的離心率）.

由上面的討論，可以歸納出一般結(jié)論：

定理：已知圓錐曲線C，過(guò)焦點(diǎn)F且不垂直于坐標(biāo)軸的直線與曲線C交于點(diǎn)A，B，線段AB的垂直平分線和焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸交于點(diǎn)C，則 = （e為圓錐曲線的離心率）.

例1：已知圓錐曲線C，過(guò)焦點(diǎn)F且不垂直于坐標(biāo)軸的直線與曲線C交于點(diǎn)A，B，線段AB的垂直平分線和線段AB交于點(diǎn)D，和焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸交于點(diǎn)C，F(xiàn)C=AD，則該圓錐曲線是（ ?）

A. 橢圓 B. 雙曲線

C. 拋物線？搖？搖 D. 都有可能

例2：已知拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且不垂直x軸的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，F(xiàn)C=2，求AB.

例3：已知橢圓 + =1（a>b>0），其中左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且不垂直x軸的直線與橢圓交于點(diǎn)A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，若FC= AB，求橢圓的離心率.

例4：已知雙曲線 - =1（a>b>0），右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且不垂直x軸的直線與雙曲線交于點(diǎn)A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，若FC=AB，求雙曲線的漸近線方程.

圓錐曲線的變化過(guò)程中蘊(yùn)藏著大量不變的關(guān)系，老師在指導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題的同時(shí)，不能只停留在問(wèn)題的表面，應(yīng)該深挖知識(shí)內(nèi)涵，追根溯源，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.