整體思想在解題中的應(yīng)用

王蕾

【摘要】高中數(shù)學(xué)教學(xué)往往側(cè)重于學(xué)習(xí)方法和技巧的引導(dǎo)，有一些問(wèn)題從正面看比較復(fù)雜，面對(duì)不同的問(wèn)題能夠運(yùn)用不同的方法求解，從而達(dá)到舉一反三的效果.其中整體思想具有一定的靈活性，如果能熟練掌握便可以避免“一葉障目，不見(jiàn)泰山”的情形，并且解題效率也會(huì)大為提高.本文通過(guò)對(duì)一些經(jīng)典例題的解析說(shuō)明整體思想在高中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用并給出一定的方法技巧，使得運(yùn)用整體思想在解決有關(guān)數(shù)列、解析幾何和函數(shù)等問(wèn)題中更為方便.

【關(guān)鍵詞】整體思想;解題;實(shí)踐應(yīng)用

整體思想是最本質(zhì)的數(shù)學(xué)思想之一，熟練掌握整體思想，能夠根據(jù)題目所給條件迅速抓住主干，并根據(jù)要求巧妙轉(zhuǎn)化等式，將復(fù)雜、不規(guī)范的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成通俗易懂的語(yǔ)言，化繁為簡(jiǎn)，從而開(kāi)闊思路，提高解題效率.下面結(jié)合例題說(shuō)明如何運(yùn)用整體思想解決問(wèn)題.

一、數(shù)列問(wèn)題中整體思想的運(yùn)用

例1?在數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1=32，a2=2且Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=0（n≥2），試判斷{an-1}（n∈N*）是否為等比數(shù)列？

根據(jù)題目所給條件，如果先求出Sn+1，Sn，Sn-1再判斷數(shù)列{an-1}是否為等比數(shù)列，計(jì)算量大并且容易出錯(cuò);但若是從題目所給等式著手，用整體代換思想，將研究對(duì)象簡(jiǎn)單化，反倒更易進(jìn)行判斷.

解?原式可化為（Sn+1-Sn）-2（Sn-Sn-1）+1=0.（1）

當(dāng)n=1時(shí)，a2-1=1=2（a1-1）;

當(dāng)n≥2時(shí)，由an+1=Sn+1-Sn，an=Sn-Sn-1，

可得an+1-2an+1=0，

即an+1-1=2（an-1），

所以an+1-1an-1=2（n≥2）.（2）

則可得（2）式對(duì)n∈N*成立.

綜上所述，{an-1}（n∈N*）是等比數(shù)列.

說(shuō)明：（1）式這一步體現(xiàn)了局部→組合;（2）式這一步體現(xiàn)了整體代換思想.

整體代換：將有關(guān)聯(lián)的子式通過(guò)一定的變形后作為一個(gè)整體，代入到另一個(gè)式子中，從而減少無(wú)法確定的變量，即局部→組合→整體→局部，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，得出結(jié)果.

二、幾何問(wèn)題中整體思想的運(yùn)用

例2?如圖1所示：△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，F(xiàn)C=4，AE=5，則該幾何體的體積是多少？

首先，題目所給幾何體為非規(guī)則幾何體，通過(guò)觀察，易想到運(yùn)用分割法解題，即將幾何體分割成一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐進(jìn)行求解;但若通過(guò)補(bǔ)形法，可將幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，直接進(jìn)行計(jì)算.

解?通過(guò)整體補(bǔ)形，將原幾何體補(bǔ)成的直三棱柱，滿足AA′=BB′=CC′=8，具體如圖2所示.

記直三棱柱ABC-EDF的體積為VABC-EDF，直三棱柱ABC-A′B′C′的體積為VABC-A′B′C′，

VABC-EDF=12VABC-A′B′C′=12×8×8×6×12=96.

說(shuō)明：求解某些幾何體的表面積或體積問(wèn)題，對(duì)于一些不規(guī)則幾何體若直接計(jì)算求解往往會(huì)顯得過(guò)于煩瑣，所以針對(duì)這類題型，通常運(yùn)用補(bǔ)形法.首先通過(guò)補(bǔ)形將不規(guī)則圖形填補(bǔ)完整，再根據(jù)一般求解幾何體的方法求解表面積或體積等.

補(bǔ)形法的應(yīng)用條件：當(dāng)所給空間幾何體直接計(jì)算求解較為煩瑣且通過(guò)觀察可以延伸為常見(jiàn)的規(guī)則圖形時(shí)，通常運(yùn)用整體補(bǔ)形法.

三、代數(shù)問(wèn)題中整體思想的運(yùn)用

例3?已知a，b為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，滿足2a2=5-3a，2b2=5-3b，求ba2+ab2的值.

這道題的常規(guī)思想方法是求出a，b的值然后代入求解，最后得出結(jié)果，但這種方法在計(jì)算時(shí)需進(jìn)行分類討論且計(jì)算過(guò)程較為煩瑣;如果單看ba2+ab2式，將其合并觀察，易發(fā)現(xiàn)該式主要是a+b，ab的組合，所以只需運(yùn)用題目所給條件計(jì)算出a+b，ab的值，即可得出答案.該題的關(guān)鍵在于需構(gòu)造出滿足條件與結(jié)論的一元二次方程.

解?由2a2=5-3a，2b2=5-3b 可知，a，b為方程2x2+3x-5=0的兩個(gè)不相等的實(shí)根，根據(jù)韋達(dá)定理可得，

a+b=-32，ab=-52，

原式可化為ba2+ab2=b3+a3（ab）2=（a+b）（a2-ab+b2）（ab）2=（a+b）[（a+b）2-3ab]（ab）2=-11750.

四、函數(shù)問(wèn)題中整體思想的運(yùn)用

例4?已知f（x）=12lg（x+1），g（x）=lg（2x+t），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）≤g（x）恒成立，求t的取值范圍.

這是一個(gè)含有參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，常規(guī)方法就是借助圖像分類討論，但是過(guò)程略微復(fù)雜且易錯(cuò).由于該題給出了特定范圍，若在求導(dǎo)后運(yùn)用整體思想得出一個(gè)新函數(shù)，并根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最大或最小值，t的范圍就可以迎刃而解了.

解?由f（x）≤g（x）在[0，1]上恒成立，

即x+1-2x-t≤0在[0，1]上恒成立.

此時(shí)令F（x）=x+1-2x-t≤0，（1）

即F′（x）=12x+1-2=1-4x+12x+1.

又x∈[0，1]，所以F′（x）<0，

即F（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，（2）

故F（x）≤0在[0，1]上恒成立，

可得F（0）=1-t≤0.（3）

解之可得t≥1.

說(shuō)明：（1）式是將x+1-2x-t≤0看作一個(gè)整體，再整體求導(dǎo);

（2）這一步通過(guò)觀察可知函數(shù)F（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在[0，1]上F（0）為最大值;

（3）這一步通過(guò)取特殊點(diǎn)、特殊值，巧妙轉(zhuǎn)化不等式，向已知條件靠攏.

五、總?結(jié)

根據(jù)以上四個(gè)例子，可以得出，在運(yùn)用整體思想解題時(shí)，首先應(yīng)根據(jù)題目所給出的局部問(wèn)題，放大視角，找出問(wèn)題的主線.然后根據(jù)給定條件逐個(gè)分析，從整體的角度考慮，找出對(duì)應(yīng)的解題方法，將煩瑣的問(wèn)題靈活轉(zhuǎn)換.最后回歸局部，轉(zhuǎn)化分解得出結(jié)論.故而將整體思想的解題過(guò)程總結(jié)如下：

整體思想在數(shù)量關(guān)系、解析幾何、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等題型中都有所體現(xiàn)，當(dāng)面對(duì)抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果能夠熟練運(yùn)用整體思想方法，從問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)上考慮問(wèn)題，那么繁冗的數(shù)學(xué)問(wèn)題便可迎刃而解.所以，在碰到相關(guān)難題時(shí)應(yīng)該充分考慮整體、轉(zhuǎn)換思想，這樣有助于理清解題思路，快速找到解題的突破口，從而在考試中提高解題效率.

【參考文獻(xiàn)】

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