試論APOS理論與銳角三角函數(shù)概念的形成

朱炎

【摘要】認(rèn)知是一個過程，無論對象存在何種特點，在對其進(jìn)行觀察和了解的過程中，都需要掌握合理的方式方法.基于此，本文以基于APOS理論的認(rèn)知過程為切入點，簡述該理論下從形象到抽象、從實踐到理論的認(rèn)知特點，再以此為基礎(chǔ)，論述APOS理論與銳角三角函數(shù)概念的形成過程，最后給出基于心理學(xué)的APOS理論應(yīng)用分析，以期通過分析，明晰理論，為后續(xù)相關(guān)工作提供參考.

【關(guān)鍵詞】APOS理論;銳角三角函數(shù);循序漸進(jìn);自我理解

APOS理論最初提出于美國，杜賓斯基等人創(chuàng)立了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理論模型，相關(guān)學(xué)者認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是要進(jìn)行心理建構(gòu)的，此建構(gòu)過程要經(jīng)歷以下四個階段，即活動（Action）階段、過程（Process）階段、對象（Object）階段、概型（Schema）階段.每一個階段都是相互對獨立的，但又是下一個階段認(rèn)知的前提，整個認(rèn)知過程建立在實踐和理解、重構(gòu)的基礎(chǔ)上，具有自主的特點.

一、基于APOS理論的認(rèn)知過程

（一）從形象到抽象

任何一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論與概念模型，都應(yīng)該加強(qiáng)對“如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”和“什么樣的教學(xué)計劃可以為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供幫助”的理解，只是陳述事實并不能對教學(xué)活動產(chǎn)生幫助.二十世紀(jì)九十年代開始，人們就將APOS理論應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)互動中，并應(yīng)用該理論完成數(shù)學(xué)概念的解讀，這一概念的成功應(yīng)用也彌補了當(dāng)時數(shù)學(xué)概念教學(xué)中教學(xué)方式存在的不足.

在APOS理論下，認(rèn)知的過程既帶有常規(guī)的漸進(jìn)特點，也帶有一定的逆向特征.在該理論下，學(xué)生嘗試?yán)斫鈱ο竽繕?biāo)，無須進(jìn)行大量的理論分析，首先以活動（Action）使對象的基本特征得到明確，這一階段的認(rèn)知是形象的、可視的.進(jìn)入過程（Process）階段，認(rèn)知開始變得系統(tǒng)，對象的特點信息將起到推動認(rèn)知的作用.進(jìn)入對象（Object）階段，目標(biāo)在學(xué)生的大腦中已經(jīng)很明確，具有與眾不同的特色，但也越發(fā)抽象.進(jìn)入概型（Schema）階段，學(xué)生已經(jīng)擺脫了認(rèn)知對象外觀的限制，能夠在腦海中任意構(gòu)建相同的形象，認(rèn)知徹底抽象化，也標(biāo)志著APOS理論下的認(rèn)知過程進(jìn)入結(jié)束階段.

（二）從實踐到理論

實踐是一切學(xué)習(xí)、認(rèn)知過程的最初形式，在科學(xué)發(fā)展乃至文明社會出現(xiàn)的早期，所有認(rèn)知方式都是以實踐形式開展的，在APOS理論下，實踐依然是認(rèn)知的基本方式.無論目標(biāo)對象存在何種差別，嘗試了解其規(guī)律、屬性，都必須對其進(jìn)行具體分析，這一過程是主觀對客觀進(jìn)行的、有目的的分析探索[1].

（三）從觀察到理解

觀察與理解是認(rèn)知的兩個關(guān)聯(lián)性步驟，理解的方式可以分為很多種.在APOS理論下，觀察實際上是活動（Action）的具體表現(xiàn)，即包括簡單的外觀觀察，也包括觀察后的分析解讀，在此過程中，學(xué)生需要通過觀察將尚未形成系統(tǒng)認(rèn)知的事物進(jìn)行拆解，使其不斷系統(tǒng)化、概念化、結(jié)構(gòu)化.如學(xué)生嘗試?yán)斫狻安煌切蔚奶攸c”，首先通過觀察抓住理解的重點，之后以自己此前所學(xué)進(jìn)行思考，進(jìn)入過程（Process）階段，獲取了自身理解后，無論成果如何，均進(jìn)入下一階段，即對象（Object）階段，當(dāng)學(xué)生對“不同三角形的特點”的理解沒有被后續(xù)吸收的知識推翻，即進(jìn)入概型（Schema）階段，形成了最終的理解.

二、APOS理論與銳角三角函數(shù)概念的形成過程

（一）活動（Action）階段

銳角三角函數(shù)概念的理解，同樣是認(rèn)知過程的一種具體化，在初始階段，也即活動（Action）階段，概念的形成是非結(jié)構(gòu)化的、模糊化的.如中學(xué)生可以分辨銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，但對如何通過函數(shù)進(jìn)行表達(dá)，大部分學(xué)生都缺乏認(rèn)知.在APOS理論下，認(rèn)知的形成以具體的實踐方式為起點.學(xué)生對各類函數(shù)進(jìn)行解析，構(gòu)建不同的圖像，持續(xù)進(jìn)行實踐，由于函數(shù)的多樣性，實踐過程很可能是漫長的，經(jīng)歷多重失敗后，學(xué)生會自發(fā)總結(jié)規(guī)律，如函數(shù)某一個值的變大總是導(dǎo)致三角形角度增加，產(chǎn)生了角度更大的鈍角三角形，那么嘗試將該數(shù)值縮小，就有可能獲取直角或者銳角三角形，在此理論的引導(dǎo)下，學(xué)生可自然而然地優(yōu)化認(rèn)知行為，并在持續(xù)進(jìn)行活動（Action）的情況下，順利進(jìn)入下一階段.

（二）過程（Process）階段

當(dāng)學(xué)生嘗試通過縮小某一固定值獲取銳角三角形時，其認(rèn)知行為進(jìn)入了過程（Process）階段，該階段的認(rèn)知變化是對活動（Action）階段的無限次重復(fù).假定學(xué)生本身的敏銳程度、總結(jié)能力不強(qiáng)，可能持續(xù)對數(shù)值進(jìn)行推敲，每次減少少量值，使認(rèn)知的過程枯燥煩瑣，直到無數(shù)次實驗后，才能獲取認(rèn)知上的突破，這是APOS理論下，學(xué)生形成銳角三角形概念的最常見過程.此外，還有兩種認(rèn)知行為也提升概念形成的效率，一種為結(jié)構(gòu)化知識引導(dǎo)，另一種為半結(jié)構(gòu)化知識引導(dǎo).結(jié)構(gòu)化知識引導(dǎo)，是指學(xué)生獲取了直接的教導(dǎo)，能夠以規(guī)律的形式快速摸索出最有效的實踐方法，這是APOS理論被發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用的初衷，最典型的就是教學(xué)工作.半結(jié)構(gòu)化的知識引導(dǎo)體現(xiàn)在認(rèn)知過程中，學(xué)生能夠敏銳地發(fā)現(xiàn)認(rèn)知規(guī)律，從而提升認(rèn)知過程的效率.無論以何種方式完成銳角三角函概念過程（Process）階段的認(rèn)知，都會自然進(jìn)入第三個階段，即對象（Object）階段[2].

（三）對象（Object）階段

簡單地說，當(dāng)個體意識可以將過程看作是一個整體，并對其進(jìn)行變形或者轉(zhuǎn)換操作時，就會將整個過程當(dāng)作為一般意義上的數(shù)學(xué)對象.過程就會凝聚為對象.這樣做，可以讓對象階段的過程更加精致化，以自身的特性形成獨立對象，并參與數(shù)學(xué)活動，對象階段不僅可以操作其他對象，還能夠被比它層次更高的運算操作，從而為對方進(jìn)行服務(wù)，為數(shù)學(xué)深入研究創(chuàng)造有利條件.

在對象（Object）階段內(nèi)，以APOS理論為視角，學(xué)生開始形成了對銳角三角函數(shù)的初步認(rèn)知，這種認(rèn)知很大程度上是片面的，如學(xué)生通過不斷的參數(shù)代入，在無數(shù)次的實踐過程中，獲取了第一個銳角三角函數(shù)公式，在沒有進(jìn)一步探索的情況下，學(xué)生對銳角三家函數(shù)的認(rèn)知可能會長時間停留在這一階段，形成認(rèn)知上的“坐井觀天”效應(yīng).對象（Object）階段可視作為認(rèn)知的第一個階段性目標(biāo)，為避免“坐井觀天”效應(yīng)，就需要重復(fù)上述兩個階段的工作，即持續(xù)的活動（Action）、過程（Process），不斷進(jìn)行認(rèn)知上的積累，學(xué)生對銳角三角函數(shù)的理解也會更加全面化、系統(tǒng)化.如果在對象（Object）階段獲得了理論指導(dǎo)（包括結(jié)構(gòu)化理論指導(dǎo)和半結(jié)構(gòu)化理論指導(dǎo)），可以使該階段的認(rèn)知快速提升.如學(xué)生通過摸索獲取了一個能夠生成銳角三角函數(shù)的等式，給予半結(jié)構(gòu)化引導(dǎo)，使學(xué)生獲知極限值理論，在等式的極限值（角度90°）下，任何參數(shù)的變化都可以保證生成銳角三角形圖像，學(xué)生對該函數(shù)的認(rèn)知生成了第一個重要規(guī)律，以此類推，其在對象（Object）階段的認(rèn)知會持續(xù)完善.

（四）概型（Schema）階段

概型（Schema）階段，也即學(xué)生形成了認(rèn)知的結(jié)束階段，該階段內(nèi)，學(xué)生通過多次的活動（Action）、過程（Process），進(jìn)入對象（Object）階段，并形成了明確的認(rèn)知，明確銳角三角函數(shù)概念以及其多種變化特點，已經(jīng)較為清晰的、牢固的被學(xué)生掌握.學(xué)生面對函數(shù)等式時，也能相應(yīng)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的銳角三角形圖像.在APOS理論下，概型（Schema）階段的認(rèn)知能力提升事實上不是一成不變的，學(xué)生可能在知識疏于應(yīng)用、學(xué)習(xí)懈怠的情況下失去對固有認(rèn)知的掌握，喪失對銳角三角函數(shù)概念的認(rèn)識，在此情況下，嘗試重新獲取知識，可以進(jìn)入此前的認(rèn)知循環(huán)，從活動（Action）階段重新開始.如果學(xué)生嘗試?yán)斫飧呱畹闹R，也可以以概型（Schema）結(jié)果為基礎(chǔ)，進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，提升認(rèn)知水平.

三、基于心理學(xué)的APOS理論應(yīng)用分析

APOS理論，本質(zhì)上是循序漸進(jìn)的認(rèn)知過程，強(qiáng)調(diào)以自我理解能力的深入優(yōu)化提升認(rèn)知水平，這一過程是循序漸進(jìn)的，也是APOS理論后續(xù)應(yīng)用的基本要求.如嘗試進(jìn)行宣傳工作，但目標(biāo)群體對宣傳內(nèi)容的理解十分有限，依然強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)化宣傳，結(jié)果可能并不理想.可以利用受眾心理構(gòu)建的基本特點，首先傳遞基礎(chǔ)知識，如宣傳內(nèi)容的某一個要素，當(dāng)受眾能夠理解這一要素后，再大范圍開展其中內(nèi)容的宣傳，使受眾的認(rèn)知過程漸進(jìn)化，逐步完善.此外，APOS理論還強(qiáng)調(diào)自我理解和消化，這即是說，不能一味進(jìn)行結(jié)構(gòu)化知識的傳遞，也不能在學(xué)生尚未進(jìn)入認(rèn)知的下一階段時，盲目推進(jìn)認(rèn)知過程.應(yīng)確保學(xué)生在活動（Action）階段、過程（Process）階段進(jìn)行了足夠完善的實踐，再嘗試進(jìn)入對象（Object）階段，并將該階段作為重點，使學(xué)生持續(xù)進(jìn)行認(rèn)知積累，最終自然步入概型（Schema）階段，自行掌握結(jié)構(gòu)化的知識.

以“直線的斜率”教學(xué)設(shè)計為案例加以分析，探究APOS理論的有效應(yīng)用.在活動階段時，需要感受概念的直觀背景，通過對背景的解析形成感性認(rèn)識.無論是人們常見的拱橋，還是太空中行星軌跡，都是以曲線的形式完成運動，如果從數(shù)學(xué)角度去探索曲線運動軌跡，就需要加以量的刻畫，人們也因此創(chuàng)造了解析幾何學(xué).過程階段內(nèi)，教師提問：“大家小時候玩過蹺蹺板嗎？如果將蹺蹺板想象為一條直線，蹺蹺板運動的時候就會出現(xiàn)一系列直線，這些直線都有什么共同之處？”隨后，學(xué)生就會指出這些直線都會經(jīng)過同一個點，教師再次提問：“這些直線方向不同，如果將方向統(tǒng)一確定為一個方向，那么蹺蹺板運動過程中直線是不是就確定了？”得到了學(xué)生的肯定回答之后，教師總結(jié)出：直線的確定需要一個點與一個方向.

斜拉橋拉鎖也可以按照上述的蹺蹺板案例進(jìn)行分析，拉鎖可以看成是方向不同的直線，對橋面來說，這些直線的存在只能代表傾斜度不相同.想要用數(shù)學(xué)方法刻畫直線傾斜度，需要思考以下兩個問題：（1）為什么大橋的引橋很長？（2）為什么人會感覺從很高的地方滑下來會更加刺激？通過討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)傾斜程度與高度、寬度的比有關(guān)系.于是教師提問：“如果任意畫出兩條直線，如何判斷出兩條直線的傾斜程度？”隨后，學(xué)生提出了參考系，將其引入直角坐標(biāo)系.由此可見，APOS理論對目前數(shù)學(xué)概念教學(xué)來說，有著一定的借鑒意義，教師在課堂實踐活動中可以將實際與理論相結(jié)合，利用客觀實際分析概念理論，通過總結(jié)與反思設(shè)計數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動，只有這樣才能夠讓學(xué)生對概念知識有充分的了解，進(jìn)而優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，完善知識體系.

綜上，在APOS理論下，銳角三角函數(shù)概念的形成是一個典型的、漸進(jìn)式的認(rèn)知過程，與常規(guī)認(rèn)知的思路不同，APOS理論強(qiáng)調(diào)以實踐為基礎(chǔ)和引導(dǎo)，使認(rèn)知過程更加具體化，實現(xiàn)了從形象到抽象、從實踐到理論、從觀察到理解的認(rèn)知過程.這也為其后續(xù)應(yīng)用提供了更多思路，包括強(qiáng)調(diào)循序漸進(jìn)、強(qiáng)調(diào)實踐認(rèn)知、強(qiáng)調(diào)自我理解等，進(jìn)一步發(fā)揮心理引導(dǎo)作用，提升認(rèn)知效果.

【參考文獻(xiàn)】

[1]趙紅霞，李丹.基于APOS理論的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究——以《軸對稱圖形》教學(xué)為例[J].兵團(tuán)教育學(xué)院學(xué)報，2018（2）：61-65.

[2]劉洪霞，趙文才，包云霞.基于APOS理論的高等數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)設(shè)計與實踐[J].統(tǒng)計與管理，2018（1）：96-98.