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    “銳角三角函數(shù)”數(shù)學(xué)思想面面觀

    2016-03-04 23:41陸中明
    初中生世界·九年級(jí) 2016年2期
    關(guān)鍵詞:銳角三角銳角過點(diǎn)

    陸中明

    數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂、精髓.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅要掌握數(shù)學(xué)知識(shí),同時(shí)還要掌握數(shù)學(xué)知識(shí)中所隱含的思想方法.本文將對(duì)“銳角三角函數(shù)”中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想加以分析,以期對(duì)提高同學(xué)們數(shù)學(xué)素養(yǎng)有所幫助.

    一、 一一對(duì)應(yīng)思想

    由相似的直角三角形可以知道,它們的邊與邊的比值隨銳角大小的變化而變化,隨著銳角大小的確定而惟一確定.同樣,借助計(jì)算器根據(jù)銳角大小可以求得其三角函數(shù)值,反過來,借助計(jì)算器根據(jù)三角函數(shù)值可以求得對(duì)應(yīng)的銳角大小.

    例1 (2015·陜西)如圖1,有一滑梯AB,其水平寬度AC為5.3米,鉛直高度BC為2.8米,則∠A的度數(shù)約為_______.(用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算,結(jié)果精確到0.1°)

    【解析】由題意,得tanA=≈0.5283,利用計(jì)算器求得∠A≈27.8°.即本題正確應(yīng)該填:27.8°.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用計(jì)算器由三角函數(shù)值求銳角的度數(shù),解題的關(guān)鍵是掌握由三角函數(shù)值求銳角度數(shù)的方法.

    二、 轉(zhuǎn)化思想

    轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想,通過轉(zhuǎn)化,可以把未知的關(guān)系轉(zhuǎn)化為已知的條件,把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為相對(duì)容易的問題.

    例2 (2015·桂林)如圖2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,垂足為D,則tan∠BCD的值是_______.

    【解析】根據(jù)題意得∠BCD=∠CAB,則tan∠BCD=tan∠CAB,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠CAB===,所以tan∠BCD=.因此,本題答案為.

    【點(diǎn)評(píng)】本題既考查了對(duì)正切概念的掌握,也考查了靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想將問題中不常見的角轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形的銳角進(jìn)行求解.

    三、 方程思想

    方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想,所謂方程思想是指從問題的數(shù)量關(guān)系入手,將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當(dāng)設(shè)元建立方程(組),然后通過解方程(組)使問題得到解決的思想方式.

    例3 (2015·云南)為解決江北學(xué)校學(xué)生上學(xué)過河難的問題,鄉(xiāng)政府決定修建一座橋.建橋過程中需測(cè)量河的寬度(即兩平行河岸AB與MN之間的距離).在測(cè)量時(shí),選定河對(duì)岸MN上的點(diǎn)C處為橋的一端,在河岸點(diǎn)A處,測(cè)得∠CAB=30°,沿河岸AB前行30米后到達(dá)B處,在B處測(cè)得∠CBA=60°.請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)求出河的寬度.(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73;結(jié)果保留整數(shù))

    【解析】過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,構(gòu)造Rt△ACD和Rt△BCD這兩個(gè)直角三角形.設(shè)CD=x,分別在這兩個(gè)三角形內(nèi),利用已知角的正切,用x表示出AD、BD的值,然后根據(jù)AB=AD+BD,列方程即可求解.

    【解答】過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,

    ∵∠CAB=30°,∴AD=CD.

    ∵∠CBA=60°,∴DB=CD.

    ∵AB=AD+DB=30,

    ∴CD+CD=30,

    ∴CD=≈×1.73≈13(米).

    答:河的寬度為13米.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用、方程思想,解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形,根據(jù)已知條件列方程.

    四、 數(shù)形結(jié)合思想

    數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其數(shù)量關(guān)系,又揭示其幾何意義,使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來,并充分地利用這種結(jié)合,探求解決問題的思路,使問題得以解決的數(shù)學(xué)思想方法.

    例4 (2015·綿陽)如圖4,要在寬為22米的九洲大道AB兩邊安裝路燈,路燈的燈臂CD長(zhǎng)為2米,且與燈柱BC成120°角,路燈采用圓錐形燈罩,燈罩的中軸線DO與燈臂CD垂直,當(dāng)燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時(shí)照明效果最佳.此時(shí),路燈的燈柱BC高度應(yīng)該設(shè)計(jì)為( ).

    A. (11-2)米

    B. (11-2)米

    C. (11-2)米

    D. (11-4)米

    【解析】設(shè)燈柱BC的長(zhǎng)為h米,過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H,過點(diǎn)C作CE⊥DH于點(diǎn)E.

    ∴四邊形BCEH為矩形.

    ∵∠DCB=120°,∴∠DCE=30°.

    又∵∠CDO=∠CBO=90°,

    ∴∠DOB=60°.

    ∵在Rt△DCE中,

    ∴DE=CD·sin30°=1,CE=CD·cos30°=,

    ∴BH=.

    又∵OB=11,∴OH=11-.

    在Rt△DOH中,

    tan∠DOH===,

    解得h=11-4.

    因此,本題應(yīng)該選D.

    【點(diǎn)評(píng)】解答這類問題的關(guān)鍵是通過作垂線構(gòu)造直角三角形,這是添加輔助線的常見方式,將非直角三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題,便于運(yùn)用三角函數(shù)關(guān)系和勾股定理來解題.

    五、 模型思想

    從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題,用數(shù)學(xué)符號(hào)建立銳角三角函數(shù)表示實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.

    例5 (2015·鹽城)如圖5所示,一幢樓房AB背后有一臺(tái)階CD,臺(tái)階每層高0.2米,且AC=17.2米.設(shè)太陽光線與水平地面的夾角為α,當(dāng)α=60°時(shí),測(cè)得樓房在地面上的影長(zhǎng)AE=10米.現(xiàn)有一只小貓睡在臺(tái)階的MN這層上曬太陽.

    (1) 求樓房的高度約為多少米?(取1.73)

    (2) 過了一會(huì)兒,當(dāng)α=45°時(shí),問小貓能否還曬到太陽?請(qǐng)說明理由.

    【解析】第(1)問,利用tanα=可輕松求解;第(2)問需作出α=45°的光線,構(gòu)造直角三角形模型,從而解決問題.

    解:(1) 當(dāng)α=60°時(shí),在Rt△ABE中,

    ∵tan60°==,

    ∴BA=10·tan60°=10≈10×1.73=17.3(米).

    答:樓房的高度約為17.3米.

    (2) 小貓仍可以曬到太陽.

    理由如下:

    假設(shè)沒有臺(tái)階,當(dāng)α=45°時(shí),從點(diǎn)B射下的光線與地面AD的交點(diǎn)為點(diǎn)F,與MC的交點(diǎn)為點(diǎn)H.

    ∵∠BFA=45°,

    ∴tan45°==1,

    ∴AF=BA=17.3,即此時(shí)的影長(zhǎng)為17.3米,

    ∴CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1,

    ∴CH=CF=0.1(米),

    ∴大樓的影子才到臺(tái)階MC這個(gè)側(cè)面上,

    ∴小貓仍曬到太陽.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有關(guān)銳角三角函數(shù)的應(yīng)用問題,解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形模型,尋找直角三角形中合適的邊角關(guān)系解決問題.

    (作者單位:江蘇省建湖縣匯文實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán)匯文校區(qū))

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