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    “三招”破解概率難點(diǎn)

    2016-03-04 09:06:58苗鑫
    初中生世界·九年級(jí) 2016年2期
    關(guān)鍵詞:三招白球樹(shù)狀

    苗鑫

    概率在日常生活、科學(xué)實(shí)踐中應(yīng)用非常廣泛.在同學(xué)們的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中雖然有了一些對(duì)事件發(fā)生的可能性大小的體驗(yàn),但那些都是感性的、粗線條的.現(xiàn)在遇到用具體的數(shù)——概率來(lái)刻畫事件發(fā)生的可能性,要用數(shù)字“說(shuō)話”,一時(shí)難適應(yīng),計(jì)算也感到?jīng)]有頭緒.為了幫助同學(xué)們學(xué)好這一章,下面教同學(xué)們“三招”,用來(lái)破解概率學(xué)習(xí)中的難點(diǎn).

    第一招 辨析概念

    事件發(fā)生的“等可能性”這一概念要加強(qiáng)辨析

    概念:如果一次試驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成,而且所有的基本事件出現(xiàn)的可能性都相等,那么這個(gè)事件叫做等可能性事件.

    辨析1:這里的n可以是有限個(gè)也可以是無(wú)限個(gè).例如:拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)的可能性是有限的;轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)均勻的轉(zhuǎn)盤,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)指針位置出現(xiàn)的可能性是無(wú)限的.

    辨析2:等可能性包含兩層含義:①所有可能發(fā)生的結(jié)果為有限個(gè)或無(wú)限個(gè),每次試驗(yàn)有且只有一個(gè)結(jié)果出現(xiàn);②每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等.

    例1 判斷下列試驗(yàn)的結(jié)果哪些具有等可能性.

    (1) 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,面朝上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)與面朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的結(jié)果;

    (2) 拋擲一枚圖釘,釘尖朝上朝下的結(jié)果;

    (3) 一只不透明的袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)白球,這些球除顏色外都相同,攪勻后從中摸出一個(gè)球,出現(xiàn)紅球和白球的結(jié)果.

    【錯(cuò)解】(1)(2)(3)的試驗(yàn)結(jié)果都具有等可能性.

    【錯(cuò)解辨析】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,面朝上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)或是偶數(shù)各有3種等可能的結(jié)果,所以(1)的試驗(yàn)結(jié)果具有等可能性;圖釘不均勻,拋擲中釘尖朝上朝下的機(jī)會(huì)不均等,所以(2)的試驗(yàn)結(jié)果不具有等可能性;在一只不透明的袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)白球,從中任意摸出一個(gè)球有7種等可能的結(jié)果,而從中摸出紅球和白球的結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)不均等,所以(3)的試驗(yàn)結(jié)果不具有等可能性.

    【正解】(1)的試驗(yàn)結(jié)果具有等可能性,(2)(3)的試驗(yàn)結(jié)果不具有等可能性.

    第二招 學(xué)好“列表”與“畫圖”

    如果每次試驗(yàn)包含兩步,每一步可能產(chǎn)生的結(jié)果數(shù)比較多,這時(shí)可以用一種較簡(jiǎn)便的列舉方法——列表法,這種方法適合在兩步試驗(yàn)中每一步出現(xiàn)的結(jié)果較多的情況.

    例2 一個(gè)布袋內(nèi)只裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球,這些球除顏色外其余都相同,隨機(jī)摸出一個(gè)球后放回?cái)噭颍匐S機(jī)摸出一個(gè)球,則兩次摸出的球都是黑球的概率是( ).

    A. B. C. D.

    【解析】列表如下:

    由表格可知,隨機(jī)摸出一個(gè)球后放回?cái)噭?,再隨機(jī)摸出一個(gè)球所得的結(jié)果有9種,兩次摸出的球都是黑球的結(jié)果有1種,所以兩次摸出的球都是黑球的概率是■.故答案選D.

    【點(diǎn)評(píng)】列表法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能發(fā)生的結(jié)果,適合于兩步完成的事件.

    當(dāng)事件要經(jīng)過(guò)多個(gè)步驟(三步或三步以上)完成時(shí),用樹(shù)狀圖列出事件所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,脈絡(luò)清晰,一目了然.

    例3 為了參加中考體育測(cè)試,甲,乙,丙三位同學(xué)進(jìn)行足球傳球訓(xùn)練.球從一個(gè)人腳下隨機(jī)傳到另一個(gè)人腳下,且每位傳球人傳球給其余兩人的機(jī)會(huì)是均等的,由甲開(kāi)始傳球,共傳三次.

    (1) 請(qǐng)用樹(shù)狀圖列舉出三次傳球的所有可能情況;

    (2) 求傳球三次后,球回到甲腳下的概率;

    (3) 三次傳球后,球回到甲腳下的概率大還是傳到乙腳下的概率大?

    【解析】(1) 三次傳球所有可能的情況如圖:

    (2) 由圖知:三次傳球后,球回到甲的概率為P(甲)

    (3)由圖知:三次傳球后,球回到乙的概率為P(乙)

    P(乙)>P(甲),所以是傳到乙腳下的概率要大.

    【點(diǎn)評(píng)】用樹(shù)狀圖求概率時(shí),最關(guān)鍵的是畫樹(shù)狀圖時(shí)橫行與豎列的確定.確定時(shí)掌握一個(gè)原則,橫行是試驗(yàn)中的元素,如本題的甲、乙、丙等,豎列是試驗(yàn)的步驟,如本題的第一次、第二次、第三次等.試驗(yàn)的結(jié)果總數(shù)為樹(shù)狀圖最末端的總個(gè)數(shù),如本例中可能的結(jié)果共有8種.

    第三招 細(xì)心審題破解“放回”與“不放回”型概率問(wèn)題

    例4 一個(gè)不透明的袋子中裝著標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)小球,這些球除顏色外都相同. 甲乙兩人共同協(xié)商了一個(gè)游戲規(guī)則:將球攪勻后,每人從中摸出一個(gè)球,其中摸出的球上的標(biāo)號(hào)大的一方獲勝.

    (1) 若甲先摸球且摸出的球不放回,乙再摸球,求乙獲勝的概率;

    (2) 若甲摸出的球放回后乙再摸球,此時(shí)制訂的游戲規(guī)則公平嗎?為什么?

    【解析】第(1)小題中,要求乙獲勝的概率,相信同學(xué)們應(yīng)該能輕松解決.對(duì)了,通過(guò)列表或者畫樹(shù)狀圖的方法,列出所有可能的情況共12種,其中乙勝的情況數(shù)為6種,因此乙獲勝的概率為0.5.關(guān)于第(2)小題,要判斷游戲規(guī)則是否公平,同學(xué)們想想看,應(yīng)該根據(jù)什么來(lái)判斷呢?不錯(cuò),就是看在該規(guī)則下甲乙兩人獲勝的概率是否相同!因此,只需算出甲乙兩人的獲勝概率,就可以作出判斷. 同樣列出表格或者樹(shù)狀圖,可以看到,現(xiàn)在的所有可能的情況是16種了,不過(guò)其中有四種是平局,另外甲勝有6種,乙勝也有6種,因此甲乙兩人獲勝的概率都是0.375,因此這個(gè)游戲規(guī)則是公平的.

    同學(xué)們,這一類問(wèn)題的解決方法應(yīng)該清楚了吧?不妨再挑戰(zhàn)難度大點(diǎn)的:如果把游戲規(guī)則改為甲先摸球,記下標(biāo)號(hào)后放回,然后乙再摸球,把兩人摸到的球的標(biāo)號(hào)相加,如果和為偶數(shù),則甲勝,否則乙勝. 請(qǐng)問(wèn)這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎?

    在學(xué)習(xí)概率時(shí),我們要充分利用已有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ),用身邊感興趣的、鮮活生動(dòng)的問(wèn)題情境作為學(xué)習(xí)素材,讓自己親身經(jīng)歷,自己總結(jié)、分析,試著用自己的語(yǔ)言表述,理解、辨析概念,對(duì)典型的問(wèn)題,要在相互交流、討論甚至爭(zhēng)議中澄清認(rèn)識(shí),逐漸積累解題經(jīng)驗(yàn).對(duì)于復(fù)雜情形的問(wèn)題,要重視課堂中老師的點(diǎn)撥和解題后的檢查,減少失誤的機(jī)會(huì),增強(qiáng)自己的學(xué)習(xí)信心.

    (作者單位:江蘇省宿遷市湖濱新區(qū)曉店中學(xué))

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