以課本習(xí)題為背景的中考題

劉頓

蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級下冊第121頁第14題：

如圖1，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距60 m，在建筑物的頂部測得鐵塔底部的俯角為30°，測得鐵塔頂部的仰角為45°，求鐵塔的高度.（精確到1 m）

【分析】若設(shè)過點(diǎn)A的水平線與CD交于點(diǎn)E，由建筑物AB與鐵塔CD相距60 m，鐵塔頂部的仰角為45°，可以構(gòu)造出等腰直角三角形，即塔比建筑物高60 m，從建筑物的頂部測得鐵塔底部的俯角為30°，從而利用正切求出建筑物的高度，進(jìn)而得到鐵塔高度.

解：設(shè)過點(diǎn)A的水平線與CD交于點(diǎn)E，

由題意，得∠AEC=∠AED=90°，

∠CAE=45°，∠DAE=30°，AE=BD=60（m），

∴CE=AE=60（m）.

在Rt△AED中，

∴AB=DE=AE·tan30°

=60×=20（m）.

∴CD=CE+AB=60+20≈95（m）.

答：鐵塔CD的高度為95 m.

【評析】這是一道典型的銳角三角函數(shù)應(yīng)用題，它的原題或模型出現(xiàn)在各個版本的教科書和資料中，不僅如此，它的原題或模型還頻頻出現(xiàn)在中考試卷中.為方便同學(xué)們的學(xué)習(xí)，現(xiàn)歸納幾例，供參考.

一、 簡單改變有關(guān)數(shù)據(jù)

例1 （2015·安徽）如圖2，平臺AB高為12米，在B處測得樓房CD的仰角為45°，底部點(diǎn)C的俯角為30°，求樓房CD的高度.（≈1.7）

【分析】過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，構(gòu)造直角三角形，先求CE，DE，再求CD及近似值.

解：過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，

在Rt△EBC中，

∵tan30°=，CE=AB=12，

∴BE==12，

在Rt△BDE中，

∵tan45°=，

∴DE=BE=12，

∴CD=CE+DE=12+12≈32.4（米）.

答：樓房CD的高度約為32.4米.

【點(diǎn)評】此類問題容易出錯的地方是：一是不能把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題；二是特殊角三角函數(shù)值記憶錯誤.如果能聯(lián)想到課本習(xí)題，我們將十分容易地找到解決問題的切入點(diǎn).

二、 求兩幢建筑物之間的距離

例2 （2015·昆明）如圖3，兩幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=15 m，CD=20 m，AB和CD之間有一景觀池，小南在A點(diǎn)測得池中噴泉處E點(diǎn)的俯角為42°，在C點(diǎn)測得E點(diǎn)的俯角為45°（點(diǎn)B、E、D在同一直線上），求兩幢建筑物之間的距離BD.（結(jié)果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

【分析】分別在Rt△ABE和Rt△DEC中，利用∠AEB和∠DEC的正切求得BE和DE的長，再相加即可.

解：由題意，得∠AEB=42°，∠DEC=45°.

∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴在Rt△ABE中，∠ABE=90°.

∵tan∠AEB=，AB=15，∠AEB=42°，

∴BE=≈=.

在Rt△DEC中，∠CDE=90°，

∠DEC=∠DCE=45°，CD=20，

∴ED=CD=20，

∴BD=BE+ED=+20≈36.7（m）.

答：兩幢建筑物之間的距離BD約為36.7m.

【點(diǎn)評】由課本習(xí)題的求解策略，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問題，理解仰角、俯角的定義，是解答此類題目的前提.另外，熟記特殊角的三角函數(shù)值，學(xué)會利用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)關(guān)系式求解，是解答此類題目的必要條件.

三、 從其中的一幢建筑物中間觀測另一幢建筑物

例3 （2015·臨沂）小強(qiáng)從自己家的陽臺上，看一棟樓頂?shù)难鼋菫?0°，看這棟樓底部的俯角為60°，小強(qiáng)家與這棟樓的水平距離為42 m，這棟樓有多高.

【分析】如圖4，在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD、∠α和∠β已知，分別解直角三角形，求出BD、CD，它們的和就是樓高.

解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，

∴△ABD和△ACD都是直角三角形.

在Rt△ABD中，

∵tanα=，∠α=30°，AD=42（m），

∴BD=42×=14（m）.

在Rt△ACD中，

∵∠β=60°，tanβ=，

∴CD=42×tan60°=42（m）.

即BC=BD+CD

=14+42=56（m）.

答：樓高為56 m.

【點(diǎn)評】在直角三角形中，知道了一個銳角和至少一條邊，就可以利用銳角三角函數(shù)和勾股定理，將其余的角和邊求出來，這就是解直角三角形的一般思路.

四、 一建筑物改換成懸在半空的氣球

例4 （2015·呼和浩特）如圖5，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟高樓頂部B的仰角為30°，看這棟高樓底部C的俯角為65°，熱氣球與高樓的水平距離AD為120 m，求這棟高樓的高度.（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可）

【分析】根據(jù)題意，得AD⊥BC，分別在Rt△ABD、Rt△ACD中結(jié)合已知條件利用正切函數(shù)的定義求出BD、CD的長，然后相加即得這棟高樓的高度.

解：依題意，在Rt△ABD中，

∵∠BAD=30°，tan30°=，

∴BD=AD·tan30°=120×=40.

在Rt△ACD中，

∵∠CAD=65°，tan65°=，

∴CD=120·tan65°.

∴BC=BD+CD=40+120·tan65°.

答：這棟高樓的高度為（40+120·tan65°） m.

【點(diǎn)評】此類問題容易出錯的地方是在Rt△ABD、Rt△ACD中誤用正弦、余弦函數(shù)求BD、CD的長.

五、 兩建筑物之間加入第三種物體

例5 （2015·涼山）如圖6，在樓房AB和塔CD之間有一棵樹EF，從樓頂A處經(jīng)過樹頂E點(diǎn)恰好看到塔的底部D點(diǎn)，且俯角α為45°，從距離樓底B點(diǎn)1米的P點(diǎn)處經(jīng)過樹頂E點(diǎn)恰好看到塔頂部C點(diǎn)，且仰角β為30°，已知樹高EF=6 m，求塔CD的高度.（結(jié)果保留根號）

【分析】依題意可先在Rt△EPH中，求出PH，然后根據(jù)△EFD為等腰直角三角形求出FD，也就是HG的長，從而得到PG的長，再通過Rt△PCG，求出CG的長，進(jìn)而能得到DC的長.

解：由題意，得∠ADB=∠α=45°，

PB=HF=GD=1（m）.

∵EF=6（m），∴EH=5（m）.

在Rt△EPH中，

∵∠β=30°，EH=5（m），

∴PH=·EH=×5=5（m）.

在Rt△EFD中，∠EDF=45°，EF=6（m），

∴FD=FE=6（m），

∴HG=FD=6（m），

∴PG=PH+HG=（5+6） m.

在Rt△CPG中，CG=PG·tanβ=（5+6）×=（5+2） m，

∴CD=CG+GD=（6+2） m.

答：塔CD的高度為（6+2） m.

【點(diǎn)評】解直角三角形問題，有圖的要先將題干中的已知量在圖中表示出來，再根據(jù)以下方法和步驟解決：①根據(jù)題目中的已知條件，將實(shí)際問題抽象為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題，畫出平面幾何圖形，弄清已知條件中各量之間的關(guān)系；②若三角形是直角三角形，根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計算，若三角形不是直角三角形，可通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決.

六、 將問題變換成生活用品

例6 （2015·岳陽）如圖7是放在水平地面上的一把椅子的側(cè)面圖，椅子高為AC，椅面寬為BE，椅腳高為ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED.從點(diǎn)A測得點(diǎn)D、E的俯角分別為64°和53°.已知ED=35 cm，求椅子高AC約為多少？

（參考數(shù)據(jù)：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）

【分析】利用已知條件判定四邊形BCDE是矩形，得BE=CD.分別在Rt△ABE和Rt△ACD中，利用正切表示出AB、BE以及AC、CD的關(guān)系，利用BE=CD建立關(guān)于AC的方程，即可求解.

解：∵AC⊥BE，AC⊥CD，

∴∠ACD=∠ABE=90°.

∵AC∥DE，

∴∠CDE=180°-∠ACD=180°-90°=90°，

∴四邊形BCDE是矩形，

∴BC=DE=35（cm），BE=CD.

在Rt△ABE中，∠AEB=53°，

∴BE===，

在Rt△ACD中，∠ADC=64°，

∴CD===，

∴=，解得AC=105（cm）.

答：椅背AC高約105 cm.

【點(diǎn)評】利用解直角三角形來解決生活中的實(shí)際問題，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考命題的熱點(diǎn)之一.解決這類問題，關(guān)鍵是要將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素間的關(guān)系，即把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型（構(gòu)造直角三角形），然后根據(jù)直角三角形邊、角以及邊角關(guān)系求解.解題時應(yīng)注意弄清仰角、俯角、水平距離、坡度（坡比）、坡角等概念的意義，認(rèn)真分析題意，觀察圖形（或畫圖）找出要解的直角三角形，選擇合適的邊角關(guān)系式計算，并按照題中要求的精確度確定答案，注明單位.在一些問題中，如斜三角形問題，要根據(jù)需要添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形，從而轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.解題時方法要靈活，選擇關(guān)系時盡量考慮用原始數(shù)據(jù)，減小誤差.

（作者單位：江蘇省射陽縣阜余初級中學(xué)）