例析格點(diǎn)圖形背景下的銳角三角函數(shù)

王競進(jìn)

問題 如圖1，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切值是（ ）.

A. 2 B.

C. D.

【分析】本題是2015年山西省的一道中考試題，以格點(diǎn)為問題背景構(gòu)造一個(gè)銳角，考查同學(xué)們對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解、掌握和靈活應(yīng)用.由于題中給出了點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C，因此先不考慮取其它點(diǎn)，而是利用現(xiàn)成的點(diǎn)，嘗試連接AC，從圖形的直觀性上初步判斷∠BAC可能是直角，再用勾股定理及其逆定理進(jìn)行驗(yàn)證，最后根據(jù)正切的定義計(jì)算即可.

【解答】如圖2，連接AC.

由勾股定理得：

AB2=22+22=8，AB=2，

AC2=12+12=2，AC=，

BC2=12+32=10，

∴AB2+AC2=8+2=10=BC2，

∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，

∴tan∠ABC===.

因此，本題應(yīng)該選D.

【感悟】要求以格點(diǎn)為背景的銳角三角函數(shù)值，我們?nèi)匀灰鶕?jù)銳角三角函數(shù)的概念，使所求的銳角化歸到直角三角形中加以解答.有的銳角可以直接放到一個(gè)直角三角形中，有的銳角需通過構(gòu)造一個(gè)直角三角形，使其成為這個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角，也有的銳角借助與其所在的三角形全等或相似的三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，成為另一個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角，再加以解答.現(xiàn)再舉幾例供大家學(xué)習(xí)、參考，以期同學(xué)們形成良好的解題策略.

例1 如圖3，將∠AOB放置在5×5的正方形網(wǎng)格中，則tan∠AOB的值是（ ）.

A. B.

C. D.

【解析】觀察圖3，可以發(fā)現(xiàn)∠AOB的一邊OB恰好在這個(gè)正方形網(wǎng)格的網(wǎng)格線上，可直接過點(diǎn)A作OB的垂線AC，垂足為C，即可構(gòu)造直角三角形（如圖4），因此，tan∠AOB==.所以，本題應(yīng)該選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題中設(shè)置的∠AOB沒有放到一個(gè)三角形中，解答時(shí)要能夠抓住角的一邊所在的特殊位置構(gòu)造直角三角形，并應(yīng)用正切概念求得結(jié)果.

例3 （2015·樂山）如圖5，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosA的值為（ ）.

A. B.

C. D.

【解析】設(shè)圖5中的小正方形的邊長為1，因而這是一個(gè)5×5的正方形網(wǎng)格， 線段AC為其中3×3的正方形網(wǎng)格的對(duì)角線，設(shè)其過1×1的正方形網(wǎng)格的一個(gè)頂點(diǎn)D（如圖6），連接BD，則BD又是其中另一個(gè)1×1的正方形網(wǎng)格的對(duì)角線，所以∠BDC=90°，則∠ADB=90°，且AD=2，AB=，所以cosA==.因此，本題應(yīng)該選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題中的∠A原來是在一個(gè)鈍角三角形中，借助于網(wǎng)格和角的一邊所在的特殊位置，將這個(gè)非直角三角形中的銳角進(jìn)行巧妙構(gòu)造，使其成為圖形中一個(gè)直角三角形的銳角，最終求得結(jié)果.

例4 如圖7，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tanB′的值為（ ）.

A. B.

C. D.

【解析】由題意知道：△AC′B′是△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可知道△AC′B′≌△ACB，所以∠B′=∠B，從而把求tanB′的問題轉(zhuǎn)化為在△ACB中求tanB.不妨過C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D，即有tanB′=tanB==.因此，本題應(yīng)該選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題能夠巧妙地應(yīng)用圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，將一般圖形中的待求角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為與網(wǎng)格具有密切聯(lián)系的特殊位置的圖形.

例5 如圖8，△ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在正方形的格點(diǎn)上，則sinA的值為（ ）.

A. B.

C. D.

【解析】設(shè)這個(gè)網(wǎng)格為4×4的正方形網(wǎng)格.乍一看，銳角∠A不在直角三角形中，且邊AC、AB所在的位置都不是特殊的位置，仔細(xì)觀察知道AC為1×2的矩形網(wǎng)格的對(duì)角線，則延長AC一定交2×4的矩形網(wǎng)格于點(diǎn)E，連接BE（如圖9），則AE=2，BE=，AB=5，∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴sinA==，因此，本題應(yīng)該選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題解答是經(jīng)歷了構(gòu)造以∠A為內(nèi)角的直角三角形的過程，體現(xiàn)了根據(jù)圖形位置特征進(jìn)行探索，對(duì)構(gòu)造圖形是一個(gè)直角三角形作出猜想，進(jìn)而應(yīng)用勾股定理進(jìn)行驗(yàn)證的思維過程.當(dāng)然，本題還可以借助于圖形中的△ADE∽△EFB來說明△ABE是直角三角形.親愛的同學(xué)，你也想到了嗎？可以嘗試自己完成思路.

例6 如圖10，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值是_______.

【解析】∠APD是AB、CD相交所成的銳角，且CD為1×1的正方形網(wǎng)格的對(duì)角線.為了使其成為直角三角形中的一個(gè)內(nèi)角，不妨將CD適當(dāng)平移使其成為另一個(gè)1×1的正方形網(wǎng)格的對(duì)角線BE（如圖11），從而將∠APD轉(zhuǎn)化為∠ABE，在△ABE中，可以通過勾股定理得到∠AEB=90°，所以tan∠APD=tan∠ABE==2.因此，本題應(yīng)該填：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題難點(diǎn)在于能夠應(yīng)用圖形中隱含的線段平行的位置關(guān)系，使待求的角進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化到直角三角形中加以解答.

小試身手

1. 正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖12放置，則cos∠AOB的值為（ ）.

A. B.

C. D.

2. 如圖13，方格紙中的每個(gè)小正方形都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn).△ABC的頂點(diǎn)都在方格的格點(diǎn)上，則cosA=_______.

參考答案

1. B 2.

（作者單位：江蘇省建湖縣匯文實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán)匯文校區(qū)）