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    三角函數(shù)發(fā)展史拾趣

    2016-03-04 23:47:53呂愛生
    初中生世界·九年級 2016年2期
    關(guān)鍵詞:日影天文學(xué)余弦

    呂愛生

    三角函數(shù)在中學(xué)教學(xué)中具有十分重要的地位,對于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)與培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力也起著重要的作用.作為數(shù)學(xué)史的一部分,三角函數(shù)極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用與發(fā)展.同學(xué)們,讓我們一起來感受其產(chǎn)生與發(fā)展的歷史,體會其迷人的價值吧.

    一、 三角學(xué)與天文學(xué)

    三角學(xué)的英文名稱是trigonometry,大約定名于公元1600年,實際源于希臘的三角和測量,其原義為三角形測量(解法),是以研究平面三角形和球面三角形的邊角關(guān)系為基礎(chǔ),達(dá)到測量上應(yīng)用為目的的一門學(xué)科.

    早期的三角學(xué)與天文學(xué)是密不可分的.由于航海、遷移、歷法推算以及天文觀察等需要,人們最初以太陽和星星為觀測參考物來確定目標(biāo)的遠(yuǎn)近以及時間的長短,自然地為這種觀測服務(wù)產(chǎn)生一些原始的三角測量.因此可以說,三角學(xué)是緊密地同天文學(xué)相聯(lián)系而邁出自己歷史第一步的.

    西方的三角學(xué)始創(chuàng)于公元前約150年,早在公元前300年,古代埃及人已有了一定的三角學(xué)知識,但主要用于測量.公元前2世紀(jì)后,希臘天文學(xué)家希帕霍斯為了天文觀測的需要,作了一個和現(xiàn)在三角函數(shù)表相仿的弦表,成為西方三角學(xué)的最早奠基者,這個成就使他贏得了“三角學(xué)之父”的稱謂.

    公元2世紀(jì),希臘天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家托勒密繼承希帕霍斯的成就,加以整理發(fā)揮,寫成《天文學(xué)大成》13卷,其中包括從0°到90°每隔半度的弦表及若干等價于三角函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系式,被認(rèn)為是西方第一本系統(tǒng)論述三角學(xué)理論的著作.在同時代的梅內(nèi)勞斯寫了一本專論球面三角學(xué)的著作《球面學(xué)》,其中包含球面三角形的基本概念和球面三角形許多獨特性質(zhì).他的工作使希臘三角學(xué)達(dá)到全盛時期.

    后來,阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家開始對三角學(xué)進(jìn)行專門的整理和研究,他們的工作具有使三角學(xué)從天文學(xué)中獨立出來的杰出表現(xiàn),但是真正把三角學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個獨立學(xué)科加以系統(tǒng)論述的,是德國數(shù)學(xué)家雷基奧蒙坦納斯.1464年,他發(fā)表了《論各種三角形》,在這本書中,他把以往散見在各種書上的三角學(xué)知識,系統(tǒng)地綜合了起來,使三角學(xué)成為數(shù)學(xué)上的一個分支.

    二、 三角函數(shù)發(fā)展史與三角學(xué)

    三角學(xué)雖曾是天文學(xué)的一部分,但由于研究范圍的逐漸擴(kuò)大,才逐漸變成以三角函數(shù)為主要對象的學(xué)科.現(xiàn)在,三角學(xué)的研究范圍不僅限于三角形,已成為數(shù)理分析之基礎(chǔ),是研究實用科學(xué)所必需的工具.

    然而,直到18世紀(jì),三角函數(shù)量:正弦、余弦、正切等等都始終被認(rèn)為是已知圓與同一條弧有關(guān)的某些線段,即三角學(xué)是以幾何的面貌表現(xiàn)出來的,這也可以說是三角學(xué)的古典面貌.

    三角學(xué)的現(xiàn)代特征是把三角量看作函數(shù),即看作是一種與角相對應(yīng)的函數(shù)值.1748年,歐拉發(fā)表了著名的《無窮小分析引論》一書,指出:“三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值.”(注:這一說法與現(xiàn)行教科書定義似乎不同,究其原因是背景不同,但其實質(zhì)是相通的)

    歐拉的這個定義是極其科學(xué)的,它使三角學(xué)從靜態(tài)研究三角形解法中解放出來,使它有可能去反映運動和變化的過程,從而使三角學(xué)成為一門具有現(xiàn)代特征的分析性學(xué)科.正如歐拉所說,引進(jìn)三角函數(shù)以后,原來意義下的正弦等三角量都可以脫離幾何圖形進(jìn)入運算,一些三角關(guān)系式也容易從三角函數(shù)定義得出.這就使得許多數(shù)學(xué)家所得出的三角關(guān)系式都有了堅實的理論依據(jù).

    三、 我國“正弦”一詞的由來

    我國古代沒有出現(xiàn)角的函數(shù)概念,只是在《九章算術(shù)》中《勾股》章的最后,提出了測量城池、山高和井深的問題,這種測量方法稱為“重差術(shù)”. 三國時代數(shù)學(xué)家劉徽為了解釋“重差術(shù)”,便撰寫《重差》一卷,附在《九章算術(shù)》中《勾股》章之后,到了唐初,這一部分才被人從《九章算術(shù)》中抽出來,成為一部獨立的著作.

    明朝崇禎4年(1631年),三角學(xué)傳入我國,德國傳教士鄧玉函、湯若望和明代著名科學(xué)家、政治家、農(nóng)學(xué)家徐光啟合編《大測》,其作為歷書的一部分呈獻(xiàn)給朝廷,這是我國第一部編譯的三角學(xué).同年,徐光啟等人還編寫了《測量全義》,其中有平面三角和球面三角的論述.1653年,薛風(fēng)祚與波蘭傳教士穆尼閣合編《三角算法》,以“三角”取代“大測”,確立了“三角”名稱.1877年,華蘅煦等人對三角級數(shù)展開式等問題有過獨立的探討.

    在《大測》中,首先將sinus譯為“正半弦”,簡稱“正弦”,這就成了我國正弦一詞的由來.

    四、 一些常用的三角函數(shù)與三角函數(shù)表

    除了正弦函數(shù)外,余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、 正割函數(shù)、余割函數(shù)也是常用的三角函數(shù).在九年級,同學(xué)們學(xué)習(xí)的三角函數(shù)有正切函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù).

    在《論各種三角形》中,雷基奧蒙坦納斯正式提出sine(正弦)一詞.而cosine(余弦)則為英國人根日爾首先使用,最早在1620年倫敦出版的他所著的《炮兵測量學(xué)》中出現(xiàn).

    1626年,阿貝爾特·格洛德最早推出的正弦與正切的簡寫三角符號分別為:“sin”與“tan”.1675年,英國人奧屈特最早推出余弦的簡寫三角符號:“cos”.但直到1748年,經(jīng)過數(shù)學(xué)家歐拉的引用后,才逐漸通用起來,并被定格為現(xiàn)在的形式.

    所謂三角函數(shù)表,就是把不同角度和它對應(yīng)的三角函數(shù)值放在一起,制作成表,以便隨時查閱.顯然,三角函數(shù)表的出現(xiàn)是自然的,因為對一個函數(shù)來說,任意一個自變量都有唯一一個值與之對應(yīng).

    著名的敘利亞天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家阿爾·巴坦尼于公元920年左右,制成了自0°到90°相隔1°的余切函數(shù)表.

    公元727年,僧人一行受唐朝皇帝唐玄宗之命撰寫《大衍歷》.為了求得全國任何地方一年中各節(jié)氣的日影長度,一行編出了太陽天頂距和八尺之竿的日影長度對應(yīng)表,太陽天頂距和日影長度比的關(guān)系即為正切函數(shù).而巴坦尼編制的是余切函數(shù)表,是日影長度和太陽天頂距比值列表.兩人的發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上是一回事,但巴坦尼比一行要晚近200年.

    (作者單位:江蘇省建湖縣城南實驗初中教育集團(tuán)近湖校區(qū))

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