攜手走進“統(tǒng)計”王國

馬曉銘

引例：小紅爸爸的公司有15名職工，對外招聘時稱該公司職工的月平均工資超過2 000元.請你分析下面的統(tǒng)計表.

假如某人想選擇一個月工資在2 000元左右的工作崗位，到這個公司做一名職員可以嗎？你想知道為什么嗎？

在八年級的時候同學(xué)們學(xué)習(xí)了數(shù)據(jù)的收集、整理和描述.今天就讓我們一起再次走進統(tǒng)計的世界，來學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度吧！

一、 認識“三數(shù)”

1. 平均數(shù)

（1） 算術(shù)平均數(shù)

一般地，n個數(shù)x1，x2，…，xn的算術(shù)平均數(shù)為，簡稱為平均數(shù).

（2） 加權(quán)平均數(shù)

一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不僅與各個數(shù)據(jù)的值有關(guān)，而且與各個數(shù)據(jù)的“重要程度”有關(guān)，衡量各個數(shù)據(jù)“重要程度”的數(shù)值叫做權(quán).加權(quán)平均數(shù)的計算方法：將各數(shù)值乘相應(yīng)的權(quán)數(shù)，然后求和得到總體值，再除以總的單位數(shù).

例1 某中學(xué)舉行歌詠比賽，以班為單位參賽，評委組的各位評委給九（3）班的演唱打分情況為：89、92、92、95、95、96、97，從中去掉一個最高分和一個最低分，余下分數(shù)的平均數(shù)是最后得分，則該班的得分為_______.

【分析】先去掉一個最低分和一個最高分，再根據(jù)平均數(shù)等于所有數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)列出算式進行計算即可.

【解答】由題意知，最高分和最低分分別為97和89，則余下的分數(shù)的平均數(shù)=（92×2+95×2+96）÷5=94.故答案為：94.

【點評】本題考查了算術(shù)平均數(shù)，解答的關(guān)鍵是根據(jù)平均數(shù)等于所有數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)列出算式.

例2 某招聘考試分筆試和面試兩種，其中筆試按60%、面試按40%計算總成績.孔明筆試成績90分，面試成績85分，那么孔明的總成績是_______分.

【分析】根據(jù)筆試和面試所占的百分比以及筆試成績和面試成績，列出算式，進行計算即可.

【解答】∵筆試按60%、面試按40%，

∴總成績是（90×60%+85×40%）=88（分），

故答案為：88.

【點評】此題考查了加權(quán)平均數(shù)，解題關(guān)鍵是根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法列出算式，從而得出最終結(jié)果.

2. 中位數(shù)

將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間位置的一個數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

例3 數(shù)據(jù)1，2，3，3，5，5，5的中位數(shù)是_______.

【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義，即將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數(shù)即是所求答案.

【解答】排序后最中間的數(shù)是3，則中位數(shù)是3.

【點評】將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）排列后，如果數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)，則處于最中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

3. 眾數(shù)

在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

例4 在我校體育模擬測試中，九（1）班6位同學(xué)的立定跳遠成績（單位：米）分別是：1.83，1.85，1.96，2.08，1.85，1.98，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（ ）.

A. 1.83 B. 1.85

C. 2.08 D. 1.96

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義求解即可.

【解答】這組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的是：1.85，共兩次，故眾數(shù)為：1.85.選B.

【點評】本題考查了眾數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).

【總結(jié)】這三個統(tǒng)計量反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，都可作為數(shù)據(jù)一般水平的代表.平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，其中任何數(shù)據(jù)的變動都會引起平均數(shù)的變動.主要缺點是易受極端值的影響，比如引例中這家公司的員工月平均工資為2 187.5元，所以，該公司對外招聘時稱職工的月平均工資超過2 000元.但想選擇一個月工資在2 000元左右的工作崗位，到這個公司做一名職員是不可以的，這個公司員工的工資多數(shù)是1 000元，只有個別經(jīng)理才多于2 000元.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)都是1 000元，對于應(yīng)聘者來說最能反映這家公司員工月工資集中趨勢的統(tǒng)計量是中位數(shù)或眾數(shù).因為中位數(shù)或眾數(shù)反映了大多數(shù)員工的月工資水平，而平均數(shù)受個別數(shù)據(jù)的影響較大.

二、 認識“三差”

1. 極差

極差就是一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差.極差反映了一組數(shù)據(jù)的變化范圍，在一定程度上描述了這組數(shù)據(jù)的離散程度.

例5 為了考察某種小麥的長勢，從中抽取了10株麥苗，測得苗高（單位：cm）為：

16 9 14 11 12 10 16 8 17 19

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和極差分別是（ ）.

A. 13，16 B. 14，11

C. 12，11 D. 13，11

【分析】根據(jù)中位數(shù)及極差的定義，結(jié)合所給數(shù)據(jù)即可作出判斷.

【解答】將數(shù)據(jù)從小到大排列為：8，9，10，

11，12，14，16，16，17，19，中位數(shù)為：13；

極差=19-8=11.故選D.

【點評】此題考查中位數(shù)和極差的概念，求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)）.

2. 方差

我們用一組數(shù)據(jù)與它們平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，即s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]來描述這組數(shù)據(jù)的離散程度，叫做這組數(shù)據(jù)的方差. 方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量.方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

例6 數(shù)據(jù)-2，-1，0，3，5的方差是_______.

【分析】先要根據(jù)平均數(shù)的計算公式計算出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再根據(jù)方差公式進行計算即可.

解：這組數(shù)據(jù)-2，-1，0，3，5的平均數(shù)是（-2-1+0+3+5）÷5=1，

則這組數(shù)據(jù)的方差是：

×[（-2-1）2+（-1-1）2+（0-1）2+（3-1）2+（5-1）2]=.故答案為：.

【點評】本題考查方差，掌握平均數(shù)的計算公式和方差公式是解題的關(guān)鍵.

例7 甲乙兩種水稻試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：噸/公頃）：

經(jīng)計算，甲=10，乙=10，試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計_______中水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定.

【分析】根據(jù)方差公式s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn2]分別求出兩種水稻的產(chǎn)量的方差，再進行比較即可.

【解答】甲種水稻產(chǎn)量的方差是：[（9.8-10）2+（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2]=0.02；

乙種水稻產(chǎn)量的方差是：[（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2]=0.244，

∴0.02<0.244，

∴產(chǎn)量比較穩(wěn)定的水稻品種是甲.

故答案為：甲.

【點評】此題考查方差，用到的知識點是方差的計算公式，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動越大，方差越小，波動越小.

3. 標準差

方差是一個被廣泛用來描述數(shù)據(jù)離散程度的量，但方差以原始數(shù)據(jù)的單位的平方作為單位，所以在統(tǒng)計中，也用方差的算術(shù)平方根來描述數(shù)據(jù)的離散程度，并把它稱為標準差，記作s.

【總結(jié)】極差、方差、標準差這三個統(tǒng)計量反映了一組數(shù)據(jù)的離散程度，用來描述一組數(shù)據(jù)波動情況的特征，常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小. 極差反映一組數(shù)據(jù)的波動范圍，用極差描述這組數(shù)據(jù)的離散程度簡單明了.由于極差忽視了一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之間的差異，僅僅由其中的最大值和最小值所確定，個別遠離群體的極端值在很大程度上會影響極差，因而極差往往不能充分反映一組數(shù)據(jù)的實際離散程度.而方差和標準差能非常精確地反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，在許多實際問題中，研究方差、標準差有著重要意義.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實驗初級中學(xué)）