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    辨析平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)

    2016-03-04 09:06:12李紅
    初中生世界·九年級(jí) 2016年2期
    關(guān)鍵詞:正整數(shù)平均數(shù)中位數(shù)

    李紅

    平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)從不同側(cè)面給我們提供了同一組數(shù)據(jù)的面貌,都是描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的“特征數(shù)”.三者都可以作為一組數(shù)據(jù)的代表,但是它們反映數(shù)據(jù)的特征有所不同.學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的難點(diǎn)是理解這三個(gè)量之間的區(qū)別,主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

    1. 意義和求法不同

    平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

    中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按從大到小(或從小到大)排列,處在最中間位置的一個(gè)數(shù)或最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

    眾數(shù):在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).只要找,不必計(jì)算就可求出.

    例1 若五個(gè)正整數(shù)的中位數(shù)是3,唯一的眾數(shù)是7,則這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是_______.

    【分析】首先根據(jù)眾數(shù)與中位數(shù)的定義,得出這五個(gè)數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù),再根據(jù)一組數(shù)據(jù)由五個(gè)正整數(shù)組成,得出其它兩個(gè)數(shù),最后由平均數(shù)的意義得出結(jié)果.

    解:∵五個(gè)正整數(shù)的中位數(shù)是3,唯一的眾數(shù)是7,

    ∴知道的三個(gè)數(shù)是3,7,7.

    ∵一組數(shù)據(jù)由五個(gè)正整數(shù)組成,

    ∴另兩個(gè)為1,2.

    ∴這五個(gè)正整數(shù)的平均數(shù)是(1+2+3+7+7)÷5=4.

    故答案為:4.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的意義,掌握平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

    2. 個(gè)數(shù)不同

    在一組數(shù)據(jù)中,平均數(shù)和中位數(shù)都具有惟一性,但眾數(shù)有時(shí)不具有唯一性.在一組數(shù)據(jù)中,可能不止一個(gè)眾數(shù),也可能沒(méi)有眾數(shù).

    3. 呈現(xiàn)形式不同

    平均數(shù):是一個(gè)“虛擬”的數(shù),是通過(guò)計(jì)算得到的,它不是數(shù)據(jù)中的原始數(shù)據(jù),它可能與原數(shù)據(jù)中的某一個(gè)相同,也可能與原數(shù)據(jù)中的任何一個(gè)都不同.

    中位數(shù):是一個(gè)不完全“虛擬”的數(shù).當(dāng)一組數(shù)據(jù)是奇數(shù)個(gè)時(shí),它就是該組數(shù)據(jù)排序后最中間的那個(gè)數(shù)據(jù),是這組數(shù)據(jù)中真實(shí)存在的一個(gè)數(shù)據(jù);但在數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)的情況下,中位數(shù)是最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù),只有當(dāng)中間的兩個(gè)數(shù)相同時(shí),它才與這組數(shù)據(jù)中的兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)據(jù)相同,是數(shù)據(jù)中的一個(gè)真實(shí)的數(shù),如果正中間的兩個(gè)數(shù)不同,此時(shí)的中位數(shù)就是一個(gè)“虛擬”的數(shù).

    眾數(shù):是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的原數(shù)據(jù),它是真實(shí)存在的.但當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都出現(xiàn)相同次數(shù)時(shí),這組數(shù)據(jù)就沒(méi)有眾數(shù)了.

    例2 公園里有甲、乙兩群游客正在做團(tuán)體游戲,兩群游客的年齡如下(單位:歲):

    甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;

    乙群:3,4,4,5,5,6,6,6,54,57.

    解答下列問(wèn)題(直接填在橫線上):

    (1) 甲群游客的平均年齡是_______歲,中位數(shù)是_______歲,眾數(shù)是_______歲,其中能較好反映甲群游客年齡特征的是_______.

    (2) 乙群游客的平均年齡是_______歲,中位數(shù)是_______歲,眾數(shù)是_______歲,其中能較好反映乙群游客年齡特征的是_______.

    【分析】平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)都是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量,當(dāng)一組數(shù)據(jù)的大小比較接近時(shí)(如甲群游客),三個(gè)量也比較接近;當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有個(gè)別數(shù)特別大或特別小時(shí)(如乙群游客),它就會(huì)影響平均數(shù)的大小,但不影響中位數(shù)、眾數(shù),此時(shí)可由中位數(shù)或眾數(shù)反映這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).

    【答案】(1) 15,15,15,平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);

    (2) 15,5.5,6,中位數(shù)、眾數(shù).

    4. 代表不同

    平均數(shù):反映了一組數(shù)據(jù)的平均大小,常用來(lái)代表數(shù)據(jù)的總體 “平均水平”.

    中位數(shù):像一條分界線,將數(shù)據(jù)分成前后兩部分,因此用來(lái)代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”.

    眾數(shù):反映了出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù),用來(lái)代表一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”.

    這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量雖然有所不同,但都可以反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),都可以作為一組數(shù)據(jù)一般水平的代表.

    例3 某車間準(zhǔn)備采取每月任務(wù)定額,超產(chǎn)有獎(jiǎng)的措施提高工作效率,為制定一個(gè)恰當(dāng)?shù)纳a(chǎn)定額,從該車間200名工人中隨機(jī)抽取20人統(tǒng)計(jì)其某月產(chǎn)量如下:

    (1) 請(qǐng)應(yīng)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí),為制定生產(chǎn)定額的管理者提供有用的參考數(shù)據(jù);

    (2) 你認(rèn)為管理者將每月每人的生產(chǎn)定額定為多少最合適?為什么?

    (3) 估計(jì)該車間全年可生產(chǎn)零件多少個(gè)?

    【分析】在確定生產(chǎn)定額時(shí),需參考的數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)有:平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù). 合理的生產(chǎn)定額應(yīng)確定在使多數(shù)人經(jīng)過(guò)努力能夠完成或超額完成的基礎(chǔ)上. 如果將眾數(shù)280定為生產(chǎn)定額,則絕大多數(shù)工人不需太努力就可完成任務(wù),這就不利于提高工作效率;若將平均數(shù)305定為生產(chǎn)定額,則多數(shù)工人不可能超產(chǎn),甚至完不成定額,會(huì)挫傷工人的積極性.

    解:(1) 平均數(shù)305,中位數(shù)290,眾數(shù)280;

    (2) 取中位數(shù)290作為生產(chǎn)定額較合適,原因是這個(gè)定額使多數(shù)工人經(jīng)過(guò)努力能完成或超額完成;

    (3) 305×12×200=7.32×105(個(gè)),估計(jì)全年總產(chǎn)量約為7.32×105個(gè).

    5. 特點(diǎn)不同

    平均數(shù)的計(jì)算中要用到每一個(gè)數(shù)據(jù),因而它反映的是一組數(shù)據(jù)的總體水平,選擇特征數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)時(shí),我們用得最多的是平均數(shù),用它作為一組數(shù)據(jù)的代表,比較可靠和穩(wěn)定, 但容易受到極端數(shù)據(jù)的影響.

    中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)的中間量,代表了中等水平.中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)的數(shù)值排序中處于中間位置,在統(tǒng)計(jì)學(xué)分析中扮演著“分水嶺”的角色,由中位數(shù)可以對(duì)事物的大體趨勢(shì)進(jìn)行判斷和掌控.如果在一組相差較大的數(shù)據(jù)中,用中位數(shù)作為這組數(shù)據(jù)特征的統(tǒng)計(jì)量往往更有意義.

    眾數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平,若一組數(shù)據(jù)中眾數(shù)的頻數(shù)比較大,并且與其他數(shù)據(jù)的頻數(shù)相差較大時(shí),我們一般選用眾數(shù).還要特別注意如下例題:某班42名同學(xué),年齡11歲的有24個(gè)人,年齡10歲的有8個(gè)人,年齡12歲的有6個(gè)人,年齡超過(guò)12歲的有4個(gè)人.則該班同學(xué)年齡分布的眾數(shù)為11歲,它表明該班年齡為11歲的同學(xué)最多(注意眾數(shù)不是24人).

    例4 某班7個(gè)合作學(xué)習(xí)小組人數(shù)如下:4、5、5、x、6、7、8,已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是( ).

    A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 7

    【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義先求出這組數(shù)據(jù)中的x,再將這組數(shù)據(jù)從小到大排列,然后找出最中間的數(shù)即可.

    解:∵4、5、5、x、6、7、8的平均數(shù)是6,

    ∴(4+5+5+x+6+7+8)÷7=6, 解得:x=7,

    將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為4、5、5、6、7、7、8, 最中間的數(shù)是6.

    則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6,故選C.

    【點(diǎn)評(píng)】此題考查了中位數(shù),掌握中位數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵,中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)重新排列后,最中間的那個(gè)數(shù)(最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)).

    這三種特征數(shù)都可以作為一組數(shù)據(jù)的代表,但它們所表示的意義是不同的.選用它們表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)時(shí),一般是遵循“多數(shù)原則”,即哪種特征數(shù)能代表這組數(shù)據(jù)的絕大多數(shù).我們解題時(shí)要正確選用合適的特征數(shù)來(lái)說(shuō)明、評(píng)價(jià)、分析實(shí)際問(wèn)題,避免誤用和濫用.

    6. 作用不同

    平均數(shù):是統(tǒng)計(jì)中最常用的數(shù)據(jù)代表值,平均數(shù)既可以描述一組數(shù)據(jù)本身的整體平均情況,也可以用來(lái)作為不同組數(shù)據(jù)比較的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).因此,它在生活中應(yīng)用最廣泛,比如我們經(jīng)常所說(shuō)的平均成績(jī)、平均身高、平均體重等.

    中位數(shù):作為一組數(shù)據(jù)的代表,可靠性比較差,因?yàn)樗焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)據(jù).但當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小時(shí),用中位數(shù)來(lái)描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)就比較合適.

    眾數(shù):作為一組數(shù)據(jù)的代表,可靠性也比較差,因?yàn)樗仓焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)據(jù).在一組數(shù)據(jù)中,如果個(gè)別數(shù)據(jù)有很大的變動(dòng),且某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多,此時(shí)用該數(shù)據(jù)(即眾數(shù))表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”就比較適合.

    例5 某校為舉行百年校慶,決定從高二年級(jí)300名男生中挑選80人組成儀仗方隊(duì),現(xiàn)隨機(jī)抽測(cè)10名高二男生的身高如下(單位:米):1.69,1.75,1.70,1.65,1.72,1.69,

    1.71,1.68,1.71,1.69. 試確定參加儀仗方隊(duì)學(xué)生的最佳身高值.

    【分析】理想的儀仗方隊(duì)?wèi)?yīng)由身材較高,且高矮一致的人組成,因此身高的挑選標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)由身高中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值所確定.

    解:上面10個(gè)數(shù)據(jù)中的眾數(shù)為1.69米,說(shuō)明全年級(jí)身高為1.69米的男生最多,估計(jì)約有90人,因此將挑選標(biāo)準(zhǔn)定在1.69米,便于組成身高整齊的儀仗方隊(duì).

    例6 甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在6次百米跑訓(xùn)練中成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬好耄?/p>

    請(qǐng)你比較這兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù),談?wù)勀愕目捶?

    【分析】本題需比較兩人成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來(lái)衡量?jī)扇顺煽?jī)水平情況.

    解:甲運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的眾數(shù)是10.8,中位數(shù)是10.85,平均數(shù)為10.9;

    乙運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)是10.9,中位數(shù)是10.85,平均數(shù)為10.8.

    從兩人成績(jī)的眾數(shù)看,甲的成績(jī)好于乙的成績(jī);

    從兩人成績(jī)的中位數(shù)看,兩人的成績(jī)相同;

    從兩人成績(jī)的平均數(shù)看,乙的成績(jī)好于甲的成績(jī).

    (作者單位:江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué))

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