概率中易混淆概念的對比與思考

李先永

概率在日常生活中應(yīng)用非常廣泛，概率題也是中考的必考內(nèi)容.概率中的一些問題，看似相同，實則不同，容易混淆.因此在解題時，要善于對比思考，推敲它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，提高解題能力.

一、 “隨機事件”與“等可能性”混淆

等可能性事件是一種特殊的隨機事件，它依賴于隨機事件，隨機事件不一定是等可能性事件.

例1 在一塊平整的地上拋一枚質(zhì)地均勻的圖釘，這個隨機試驗的所有的可能結(jié)果有哪幾種？它們是等可能性的嗎？

【解析】這個隨機試驗的所有的可能結(jié)果有2種：釘帽向上，釘尖向上.它們不是等可能性的.因為雖然圖釘質(zhì)地是均勻的，但是釘帽面積遠遠大于針尖面積，所以釘尖向上的可能性要遠遠大于釘帽向上的可能性，所以它們不是等可能性的.

【點評】本題有的同學會和拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣這個隨機事件混淆.錯誤地認為2種結(jié)果是等可能性的.要特別注意有的隨機試驗結(jié)果不一定是等可能性的.

二、 隨機事件發(fā)生的“頻率”與“概率”混淆

例2 下列兩個命題中錯誤的是（ ）.

（1） 拋擲100次硬幣，出現(xiàn)正面向上的頻率為0.4，則該試驗中，硬幣正面向上的次數(shù)為40次.

（2） 若一批產(chǎn)品的次品率為0.1，則從該產(chǎn)品中隨機抽取100件，一定會有10件次品.

【解析】隨機事件在一次試驗中發(fā)生的頻率=，它隨著試驗次數(shù)的改變而改變.在大量重復(fù)試驗中，隨機事件的發(fā)生呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，頻率的值是穩(wěn)定的，接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)就是隨機事件發(fā)生的概率.雖然事件發(fā)生的概率反映了事件發(fā)生的必然規(guī)律，但事件的發(fā)生又帶有偶然性.在命題（2）中次品率為0.1，不等于100件產(chǎn)品中一定有10件次品，故（2）是錯誤的.

練習 下列兩個命題中錯誤的是（ ）.

（1） 當試驗次數(shù)n給定后，事件A出現(xiàn)的頻率與事件A出現(xiàn)的次數(shù)成正比.

（2） 如果某事件發(fā)生的概率是，則該事件在n次試驗中至少發(fā)生一次.

答案：（2）.

三、 抽樣中的“放回”與“不放回”混淆

例3 現(xiàn)有四張分別標有數(shù)字1，2，2，3的卡片，它們除數(shù)字外完全相同，把卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張后放回，再背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張，則兩次抽出的卡片所標數(shù)字不同的概率是_______.

【解析】本題可用列表法或畫樹狀圖的方法求概率.列表如下：

由列表可得所有等可能的情況有16種，其中兩次抽出卡片所標數(shù)字不同的情況有10種，則P==.

例4 一個不透明的布袋里裝有2個白球，1個黑球和若干個紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出1個球，是白球的概率為.

（1） 袋里紅球有多少個？

（2） 從布袋中摸出1個球后不放回，再摸出1個球，請用列表或畫樹狀圖等方法求出兩次摸到的球都是白球的概率.

【分析】（1） 設(shè)紅球的個數(shù)為x個，根據(jù)從中任意摸出1個球，是白球的概率為列方程求解即可.

（2） 根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部等可能情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目.二者的比值就是其發(fā)生的概率.

解：（1） 紅球的個數(shù)為x個，

則根據(jù)題意，得=，

解得x=1（檢驗合適），

∴布袋里紅球有1個.

（2） 樹狀圖如下：

∵兩次摸球共有12種等可能結(jié)果，兩次摸到的球都是白球的情況有2種，

∴兩次摸到的球都是白球的概率為=.

上述兩例可看成同是“隨機摸球問題”.例3中可把卡片看成球，每次抽取一張卡片放回看成取出的球放回，袋中的球始終保持不變，故每次取球是相互獨立的，是獨立重復(fù)試驗；例4中取出的球不放回，每取出一個球后，袋中的球就少一個.一般地，題目中會點明用什么方法抽樣，例如：n人參加摸球游戲，每人摸一次，摸后放回.這就是需要放回的時候.如果條件是“2人參加摸球游戲，每人摸兩個球”，這里雖然沒有說是放回還是不放回，但是也應(yīng)當作不放回處理.

四、 列表法與樹狀圖法

當一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.涉及兩步實驗求概率問題也可以用列表法.

樹狀圖法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，像樹的枝丫形式，最末端的枝丫個數(shù)就是總的可能的結(jié)果n.涉及多步實驗求概率問題都可以用樹狀圖法.

當有兩個元素時，既可用樹狀圖法列舉，也可以用列表法列舉，同時要注意具體問題具體分析，沒有統(tǒng)一的模式.

例5 活動1：在一只不透明的口袋中裝有標號為1，2，3的3個小球，這些球除標號外都相同，充分攪勻，甲、乙、丙三位同學按丙→甲→乙的順序依次從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，計算甲勝出的概率.（注：丙→甲→乙表示丙第一個摸球，甲第二個摸球，乙最后一個摸球）

活動2：在一只不透明的口袋中裝有標號為1，2，3，4的4個小球，這些球除標號外都相同，充分攪勻，請你對甲、乙、丙三名同學規(guī)定一個摸球順序：___→___→___，他們按這個順序從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，則第一個摸球的同學勝出的概率等于_______，最后一個摸球的同學勝出的概率等于_______.

猜想：在一只不透明的口袋中裝有標號為1，2，3，…，n（n為正整數(shù)）的n個小球，這些球除標號外都相同，充分攪勻，甲、乙、丙三名同學從袋中各摸出一個球（不放回），摸到1號球勝出，猜想：這三名同學每人勝出的概率之間的大小關(guān)系.你還能得到什么活動經(jīng)驗？（寫出一個即可）

【分析】（1） 應(yīng)用樹狀圖法，判斷出甲勝出的概率是多少即可.

（2） 首先對甲、乙、丙三名同學規(guī)定一個摸球順序：丙→甲→乙，然后應(yīng)用樹狀圖法，判斷出第一個摸球的丙同學和最后一個摸球的乙同學勝出的概率各等于多少即可.

（3） 首先根據(jù)（1）（2），猜想這三名同學每人勝出的概率之間的大小關(guān)系為：P（甲勝出）=P（乙勝出）=P（丙勝出），然后總結(jié)得到的活動經(jīng)驗為：抽簽是公平的，與順序無關(guān).

解：（1） 如圖1，甲勝出的概率為：P（甲勝出）=.

（2） 對甲、乙、丙三名同學規(guī)定一個摸球順序：丙→甲→乙，畫樹狀圖如圖2，則第一個摸球的丙同學勝出的概率等于，最后一個摸球的乙同學勝出的概率等于=.

（3） 這三名同學每人勝出的概率之間的大小關(guān)系為：

P（甲勝出）=P（乙勝出）=P（丙勝出）.

得到的活動經(jīng)驗為：抽簽是公平的，與順序無關(guān).（答案不唯一）

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實驗初級中學）