邱美麗
伽利略曾說(shuō)過,“科學(xué)是在不斷改變思維角度的探索中前進(jìn)的”.故而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以通過原題延伸出更多具有相關(guān)性、相似性、相反性的新問題,深度挖掘例習(xí)題的教育功能,可以引發(fā)學(xué)習(xí)興趣,喚起創(chuàng)造意識(shí),從而實(shí)現(xiàn)效率的最大化.現(xiàn)以蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)99頁(yè)習(xí)題1為例,展開我們的拓展之旅.
一、 原題再現(xiàn)
小麗某周每天的睡眠時(shí)間如下(單位:h):
8,9,7,9,7,8,8.
求小麗該周每天的平均睡眠時(shí)間.
【解析】求平均數(shù)時(shí),記住公式
=,
直接代入公式,問題就迎刃而解了.
二、 拓展變化
(一) 順勢(shì)轉(zhuǎn)變,巧妙求解.
小麗某周每天的睡眠時(shí)間如下(單位:h):
求小麗該周每天的平均睡眠時(shí)間.
【點(diǎn)撥】在原題基礎(chǔ)上對(duì)外形重新整合,將原有數(shù)據(jù)進(jìn)行列表,讓同學(xué)們直觀地看出各個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù),這樣對(duì)于復(fù)雜的數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)可以避免重復(fù)和遺漏.雖然形變但神不變.
解:=(7×2+8×3+9×2)÷7=8.
【點(diǎn)評(píng)】對(duì)較復(fù)雜的數(shù)據(jù)求平均數(shù)時(shí),我們要善于觀察,通過合理的列表和畫圖,使數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單化、合理化.
(二) 適當(dāng)轉(zhuǎn)型,找出解題技巧.
轉(zhuǎn)型1 (1) 一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)是,求另一組數(shù)據(jù)2x1+5,2x2+5,2x3+5,2x4+5,2x5+5的平均數(shù);
(2) 5個(gè)數(shù)據(jù),各數(shù)都減去200,所得的差分別是8,6,-2,3,0,求這5個(gè)數(shù)的平均數(shù).
【點(diǎn)撥】觀察其結(jié)構(gòu),我們不難發(fā)現(xiàn),該題在原有求平均數(shù)的基礎(chǔ)上做了適當(dāng)?shù)淖冃?
解:(1)=(x1+x2+x3+x4+x5)÷5,
′=[(2x1+5)+(2x2+5)+(2x3+5)+(2x4+5)+(2x5+5)]÷5
=2(x1+x2+x3+x4+x5)÷5+5
=2+5;
(2)=200+(8+6-2+3+0)÷5=203.
【點(diǎn)評(píng)】第(1)小題是一個(gè)整體求值問題,通過歸納找到方法和技巧,如果一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5,…,xn的平均數(shù)是,則另一組數(shù)據(jù)ax1+b,ax2+b,ax3+b,ax4+b,ax5+b,…,axn+b的平均數(shù)為a+b.第(2)題可以發(fā)現(xiàn)在一組數(shù)據(jù)中同時(shí)添上或去掉某個(gè)相同數(shù)據(jù)求其平均數(shù)可以使計(jì)算簡(jiǎn)便,最后再去掉或加上這個(gè)數(shù)據(jù)便可得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).
轉(zhuǎn)型2 某校九年級(jí)期末考試成績(jī)?nèi)缦拢壕牛?)班55人,平均分81分;九(2)班40人,平均分90分;九(3)班45人,平均分85分;九(4)班60人,平均分84分.求九年級(jí)期末考試成績(jī)的平均分.
【點(diǎn)撥】由平均數(shù)的概念可知:求這次檢測(cè)中的平均分應(yīng)是總分?jǐn)?shù)除以總?cè)藬?shù).
解:=(55×81+40×90+45×85+60×84)÷(55+40+45+60)=84.6.
【點(diǎn)評(píng)】權(quán)的差異對(duì)求平均數(shù)有重要影響,因?yàn)楦靼嗳藬?shù)不同,也就是各個(gè)分?jǐn)?shù)的權(quán)重不同,所以解此題時(shí)不要誤用公式.
(三) 靈活專向,數(shù)形結(jié)合.
某文具商店共有單價(jià)分別為10元、15元和20元的3種文具盒出售,該商店統(tǒng)計(jì)了2015年3月份這3種文具盒的銷售情況,并繪制統(tǒng)計(jì)圖如下:
(1) 請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(2) 小亮認(rèn)為:該商店3月份售出的這3種文具盒的平均銷售價(jià)格為(10+15+20)=15(元),你認(rèn)為小亮的計(jì)算方法正確嗎?如不正確,請(qǐng)計(jì)算出平均銷售價(jià)格.
【點(diǎn)撥】觀察圖形,充分利用扇形圖找出權(quán)重,再根據(jù)公式就可以輕松解題了.
解:(1) 90÷15%×25%=150,
如圖:
(2) 小亮的計(jì)算方法不正確,
正確計(jì)算為:20×15%+10×25%+15×60%=14.5(元).
【點(diǎn)評(píng)】解決問題的關(guān)鍵是找出數(shù)據(jù)的權(quán)重,“權(quán) ”的差異性對(duì)平均數(shù)有著重要影響.因此,一定要認(rèn)真審題,辨析清楚后再進(jìn)行求解.
由以上的各種變化可知,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中將一個(gè)典型的例題或習(xí)題拓展、演變、延伸,對(duì)于數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用能力以及知識(shí)的遷移能力都有極好的訓(xùn)練效果.