巧用二次函數(shù)對(duì)稱性解決問題

王寅

拋物線的軸對(duì)稱性，是二次函數(shù)的一個(gè)重要特征，往往也是解題的關(guān)鍵。我們?nèi)绻軌蚴炀毑⑶擅畹剡\(yùn)用，可使解題變得輕松。

一、利用對(duì)稱性求點(diǎn)坐標(biāo)

例1 已知二次函數(shù)y=kx2-4kx+3k圖像上有一點(diǎn)（3，2），則該點(diǎn)關(guān)于圖像對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（?）。

A.（2，3）

B.（l，2）

C.（2，2）

D.（l，3）

【分析】我們要求對(duì)稱點(diǎn)，就要先求出拋物線的對(duì)稱軸，然后利用對(duì)稱性求出另一點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：對(duì)稱軸為x=-b/2a=--4k/2k=2。設(shè)所求點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得m+3/2=2，解得m=l。由對(duì)稱性可知縱坐標(biāo)不變，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）。故選B。

【點(diǎn)評(píng)】靈活利用配方法或公式求出對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵。本題還可以利用十字相乘法，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)式y(tǒng)=k（x-1） （x-3），求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。

二、利用對(duì)稱性比較數(shù)值大小

例2 若點(diǎn)A（2，y，）、B（-3，Y2）、C（3，y3）三點(diǎn)在二次函數(shù)y=x2-4x-m的圖像上，則Y1、Y2、y3的大小關(guān)系是（?）。

A.Y1>Y2 >y3

B.Y2>Y1>Y3

C.Y2>y3 >Y1

D.y3>Y1>Y2

【分析】找出圖像對(duì)稱軸，利用增減性求解。

解：配方得y= （x-2）2-4-m，所以對(duì)稱軸為x=2。因?yàn)閍>0，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，所以A為圖像頂點(diǎn)，即Y1最小。根據(jù)對(duì)稱性，可得點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（1，y3），在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而減小，所以Y2>Y3，即Y2>Y3>Y1。故選C。

【點(diǎn)評(píng)】借助拋物線的軸對(duì)稱性，把位于對(duì)稱軸兩側(cè)的點(diǎn)變換到同一側(cè)，這樣便于利用二次函數(shù)的增減性來進(jìn)行比較。當(dāng)然，本題也可直接代入求解。

三、數(shù)形結(jié)合解不等式

例3 已知拋物線y=ax2+bx+c的部分圖像如圖1所示，若y>0，則x的取值范圍是（?）。

A.x >1

B.x<-1

C.-l

D.x<-1或x>3

【分析】函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以要先求出另一交點(diǎn)。

解：由圖可知，拋物線的對(duì)稱軸為x=1，一個(gè)交點(diǎn)為（一1，0），易求出另一交點(diǎn)為（3，0）。因?yàn)閥>0，所以根據(jù)圖像可知對(duì)應(yīng)的取值范圍應(yīng)為x軸上方部分，即x<-l或x>3。故選D。

【點(diǎn)評(píng)】本題容易錯(cuò)解為x<-l，忽視對(duì)稱軸另一側(cè)的情況。數(shù)形結(jié)合思想是解決函數(shù)取值范圍的主要方法，如本題，若問當(dāng)y<0時(shí)，求x的取值范圍，則可根據(jù)圖像直接得到答案為-l

四、巧用對(duì)稱性求面積

例4 如圖2，把拋物線Y= 2/3x2平移得到拋物線m，拋物線m經(jīng)過點(diǎn)A（-6，0）和原點(diǎn)O（O，0），它的頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸與拋物線y= 2/3x2交于點(diǎn)Q，則圖中陰影部分面積為（?）。

A.12

B.14

C.16

D.18

【分析】求不規(guī)則圖形面積應(yīng)利用拼、割、補(bǔ)等方法轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。

解：作QD⊥y軸于點(diǎn)D，設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)C。由拋物線m經(jīng)過A（-6，0）、O（O，0），通過交點(diǎn)式可得m的表達(dá)式為y=2/3（x+6）（x-0），即y=2/3x2+4x，所以圖像m的對(duì)稱軸為x=-3，將x=-3代入y=2/3x2，得Q（-3，6），所以PC=QC，所以陰影部分面積可轉(zhuǎn)化為矩形CQDO面積，即3x6=18。故選D。

【點(diǎn)評(píng)】處理不規(guī)則圖形面積的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化。本題通過求出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合對(duì)稱性，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為矩形面積。

例5 如圖3，拋物線y=x2， y=1/2x2， y=-1/4x2分別交矩形ABCD于F、E、A、D、C、B，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1，則圖中陰影部分面積的和為（?）。

A.l

B.2

c.3/4

D.4/3

【分析】已知的三個(gè)函數(shù)表達(dá)式都為y=ax2的形式，可知圖像頂點(diǎn)都為原點(diǎn)，對(duì)稱軸都為y軸?？蓪⒂覀?cè)陰影部分移至左側(cè)，即求矩形ABCD面積的一半。

解：由圖可知，點(diǎn)A在拋物線y= 1/2x2上，點(diǎn)B在y=-1/4x2上，將x=-l分別代入，得A（一1，1/2）、B（一1，一1/4），所以AB=1/2+1/4=3/4，則左側(cè)矩形面積為lx3=3。故選C。

【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵點(diǎn)是判斷各點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的拋物線。因?yàn)辄c(diǎn)B所在拋物線開口向下，所以點(diǎn)B在y=- 4x-上;因?yàn)閘al越大，拋物線開口越小，所以點(diǎn)A在y= 1/2x2上。

五、巧用對(duì)稱性求值

例6 如圖4，已知點(diǎn)C（O，2）、D（4，2）、F（4，0）。問題：

（1）請(qǐng)利用尺規(guī)作出拋物線的對(duì)稱軸，想一想能有幾種作法;

（2）若拋物線對(duì)稱軸上有動(dòng)點(diǎn)P，求PC+PO的最小值。

【分析】（1）根據(jù)C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，可知CD∥x軸，作CD的垂直平分線l，則l即為拋物線的對(duì)稱軸。

（2）動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，可找出點(diǎn)C（或點(diǎn)0）關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，利用線段垂直平分線性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

解：（1）分別以點(diǎn)C、D為圓心，大于1/2CD為半徑畫弧，過兩弧上下交點(diǎn)作直線l，則直線l為拋物線的對(duì)稱軸。

（2）如圖5，連接OD，與l交于點(diǎn)P，所以PC=PD，即PC+PO=PD+PO=OD。因?yàn)镺C=2，CD=4，所以O(shè)D=OC2+CD2=25。

【點(diǎn)評(píng)】問題（1）還可以利用矩形的對(duì)稱性質(zhì)來解決，即連接CF、OD，過CF、OD的交點(diǎn)作x軸的垂線，則垂線為拋物線的對(duì)稱軸。問題（2）是典型的“將軍飲馬”問題，可利用二次函數(shù)的對(duì)稱性得出點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段，構(gòu)造三點(diǎn)共線，求出最小值。

（作者單位：江蘇省泗陽經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)學(xué)校）