處處可見的二次函數(shù)

胡榮光

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，是難點，也是重點，更是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。二次函數(shù)的應(yīng)用非常廣泛，它能客觀地反映現(xiàn)實世界中變量之間的數(shù)量關(guān)系和常見的數(shù)學(xué)模型，所以很多實際問題可以用二次函數(shù)來解決。下面我們以兩個實際問題來分析，希望對大家二次函數(shù)的學(xué)習(xí)有所幫助。

例1 如圖1，劉爺爺用鐵柵欄及一面墻（墻為足夠的長度）圍成一個長方形兔舍，在AB和BC邊各有一個2米寬的小門。劉爺爺共用鐵柵欄40米。設(shè)矩形ABCD垂直墻的邊AD長為x米，矩形的面積為S平方米。

（1）寫出S與x的函數(shù)表達(dá)式;（請寫出取值范圍）

（2）如果要圍成192平方米的場地，AD的長是____;

（3）能圍成248平方米的場地嗎？

【解析】（1）本小題的難點是準(zhǔn)確地表示出AB的長度，然后根據(jù)長方形面積公式得到函數(shù)表達(dá)式，最后需利用不等式組求出自變量的取值范圍。

根據(jù)題意，

得S=x[40-x-（x-2）+2] =-2x2+44x.

∵x- 2>0，

40 -x-（x- 2》0，

∴2

∴S與x的函數(shù)表達(dá)式為S=_2x2+44x（2

（2）將S=192代入，得一元二次方程，解出方程的根，但要檢驗是否在（1）的范圍內(nèi)。

當(dāng)S=192時，-2x2+44x=192。

解得x1=6，x2=16。

∴要圍成192平方米的場地，AD的長是6米或16米。

（3）將S=248代入，得一元二次方程，方程無解，說明不能圍成248平方米的場地。本小題也可以求函數(shù)的最大值，發(fā)現(xiàn)最大值小于248，即說明不能圍成248平方米的場地。

方法一：當(dāng)S=248時，-2x2+44x=248。

化簡為x2-22x+124=0。

∵△=62—4ac<0.

∴方程無解，

∴不能圍成248平方米的場地。

方法二：∵S=-2x2+44x=-2 （x-ll）2+242，

∴當(dāng)x=ll時，S有最大值，最大值為242平方米，

∴不能圍成248平方米的場地。

例2 如圖2，某廣場要建一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于地面安裝一個柱子OA，0恰好在水面的中心，OA =1.25米。由柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路線落下。為使水流形狀美觀，要求水流在離OA距離1米處達(dá)到距水面的最大高度2.25米，建立如下坐標(biāo)系。

（1）求水流的拋物線路線在第一象限內(nèi)對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;（不要求寫取值范圍）

（2）若不計其他因素，則水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至于落到池外？

（3）若水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，水池半徑為3.5米，要使水流不落到池外，水流距水面的最大高度應(yīng)達(dá)到多少米？

（4）在直線OB上有一點D（靠點B一側(cè)），BD=0.5米，豎直向上擺放無蓋的圓柱形桶，試圖讓水落入桶內(nèi)。圓柱形桶的直徑為0.5米，高為0.2米（圓柱形桶的厚度忽略不計）。①如果豎直擺放5個圓柱形桶，水能不能落入桶內(nèi)？②直接寫出當(dāng)豎直擺放多少個圓柱形桶時，水可以落入桶內(nèi)。

【解析】（1）本小題由題意易得頂點坐標(biāo)，所以可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為頂點式。

∵頂點為（1，2.25），

∴設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-l）2+2.25。

∵函數(shù)過點A（0，1.25），

∴將A點坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，

解得a=-l，

∴函數(shù)表達(dá)式為y=-（x-l）2+2.25。

（2）首先理解題意，水落在地上，就是當(dāng)y=0時，求x的值，要注意取舍。

由（1）知y=- （x-l）2+2.25，

令y=0，則一（x_l）2+2.25=0，

解得x1=2.5，x7=-0.5（舍去）。

∴花壇的半徑至少為2.5m。

（3）我們知道表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c中的a確定拋物線形狀，所以題意暗示我們a=-l。

由題意可設(shè)y=-x2+bx+c，把點（0，1.25）、（3.5，0）代入，

∴水池的半徑為3.5m。要使水流不落到池外，此時噴出的水流最大高度應(yīng)達(dá)729m。

（4）本小題很靈活，我們要能理解（2，1.25）、（1.5，2）這兩個點在拋物線上。如果水能夠落在桶里，桶的高度應(yīng)在1.25m到2m之間。

①由題意得（2，1.25）、（1.5，2）在拋物線上，豎直擺放5個桶的高為Im。

∵1<2且1<1.25，

∴水不能落入桶內(nèi)。

②設(shè)豎直擺放圓柱形桶n個時，水可以落人桶內(nèi)。由題意得1.25≤0.2n≤2，解得6.25≤n≤10

∵n為整數(shù)，∴n的值為7、8、9、10，

∴當(dāng)豎直擺放圓柱形桶7、8、9、10個時，水可以落入桶內(nèi)。

用二次函數(shù)解決實際問題是對二次函數(shù)學(xué)習(xí)的綜合應(yīng)用，我們不僅需要根據(jù)題意用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪龊瘮?shù)的表達(dá)式及最值，還需要與方程、不等式聯(lián)系在一起靈活應(yīng)用。我們更要從題目中體會數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思想。

（作者單位：江蘇省泗陽致遠(yuǎn)中學(xué)）