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戚文理
我們先來看一下2019年四川綿陽數(shù)學(xué)中考第24題:
在平面直角坐標(biāo)系中,將二次函數(shù)y=ax-(a>0)的圖像向右平移1個單位,再向下平移2個單位,得到如圖1所示的拋物線,該拋物線與x軸交于點A、B(點A在點B的左側(cè)),OA=1,經(jīng)過點A的一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像與y軸正半軸交于點C,且與拋物線的另一個交點為D,△ABD的面積為5。
(1)求拋物線和一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)拋物線上的動點E在一次函數(shù)的圖像下方,求△ACE面積的最大值,并求出此時點E的坐標(biāo):
(3)若點P為x軸上任意一點,在(2)的結(jié)論下,求PE+3/5PA的最小值。
【分析】(1)先寫出平移后的拋物線表達(dá)式,經(jīng)過點A(一1,0),可求得a的值,由△ABD的面積為5可求出點D的縱坐標(biāo),代入拋物線表達(dá)式求出橫坐標(biāo),由A、D的坐標(biāo)可求出一次函數(shù)表達(dá)式;
(2)作EM∥y軸交AD于M,如圖2,利用三角形面積公式,由S△ACE=S△AME-S△CME構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題;
(3)如圖3,作E關(guān)于x軸的對稱點F,過點F作FH⊥AE于點H,交x軸于點P,則∠BAE=∠HA P=∠HFE,利用銳角三角函數(shù)的定義可得出EP+3/2A P=FP+HP=FH,此時VH最小,求
出最小值即可。
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)表達(dá)式的求法和數(shù)形結(jié)合的能力。要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來,利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度,從而求出線段之間的關(guān)系,解決相關(guān)問題。第(3)問是本題的壓軸點,屬于“胡不歸”模型。
“胡不歸”模型是一個非常古老的數(shù)學(xué)模型,也是歷史上非常著名的難題,近年來逐漸成為各地中考的熱門考點,很多同學(xué)不易把握。下面結(jié)合幾個例子來說說這一模型。
一、“胡不歸”模型的建立
如圖4,點P是射線AM上一動點,點B是射線外一定點。求k·PA +PB取最小值時點P的位置(其中O
【分析】如圖5,將射線AM繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)a0得射線AM',使sina.=k。過點P作PE⊥AM',垂足為E,那么有k·PA+PB=PE+PB。過點B作BF⊥AM,垂足為F,交AM于點P,易得,當(dāng)點P與P'重合時,k·PA+PB有最小值BF。
【理論依據(jù)】點到直線間垂線段最短。
二、“胡不歸”模型的運(yùn)用
例1 (2019·湖北恩施)如圖6,拋物線y=ax2-2ax+c的圖像經(jīng)過點C(0,-2),頂點D的坐標(biāo)為(1,一8、3),與x軸交于A、B兩點。
(1)求拋物線的表達(dá)式。
(2)連接AC,E為直線AC上一點,當(dāng)△AOC一△AEB時,求點E的坐標(biāo)和AE/AB的值。
(3)點F(0,y)是y軸上一動點,當(dāng)y為何值時,5/5FC+BF的值最小,并求出這個最小值。
(4)點C關(guān)于x軸的對稱點為H,當(dāng)5/5FC+BF取最小值時,在拋物線的對稱軸 5上是否存在點Q,使△QHF是直角三角形?若存在,請求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。
【分析】(1)將點C、D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式,即可求解;
(3)連接BF,過點F作FG⊥AC于點G,當(dāng)折線段BFG與BE重合時,取得最小值,即可求解;
(4)①當(dāng)點Q為直角頂點時,由Rt△QHM—Rt△FQM得QM2=HM·FM;②當(dāng)點H為直角頂點時,點H(O,2),則點Q(l,2);③當(dāng)點F為直角頂點時,同理可得點Q(l,一3/2)。
【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用,涉及一次函數(shù)、點的對稱性、三角形相似、圖形的面積計算等,其中第(4)問要注意分類求解,避免遺漏。第(3)(4)兩小問則是對“胡不歸”模型的應(yīng)用。
例2 (2020·湖南湘西)已知直線y=kx-2與拋物線y=x2-bx+c(6、c為常數(shù),b>0)的一個交點為A(一1,0),點M(m,0)是x軸正半軸上的動點。
(1)當(dāng)直線y=kx-2與拋物線y=x2-bx+c(b、c為常數(shù),b>0)的另一個交點為該拋物線的頂點E時,求k、6、c的值及拋物線頂點E的坐標(biāo):
(2)在(1)的條件下,設(shè)該拋物線與y軸的交點為C,若點Q在拋物線上,且點Q的橫
1坐標(biāo)為6,當(dāng)SAEQM= 2S△ACE時,求m的值;
(3)點D在拋物線上,且點D的橫坐標(biāo)為b+l,當(dāng)2AM+2DM的最小值為27.2/4時,求b的值。
【分析】(1)將A點坐標(biāo)代入直線與拋物線的表達(dá)式中求得k的值和b與c的關(guān)系式,再將拋物線的頂點坐標(biāo)代入求得的直線的表達(dá)式,便可求得b、c的值,進(jìn)而求得E點的坐標(biāo);
(2)先根據(jù)拋物線的表達(dá)式求得C、Q點的坐標(biāo),用m表示出△EQM的面積,再根據(jù)S△EQM=1/2S△ACE列出m的方程進(jìn)行求解;
(3)取點Ⅳ(0,1),則∠OAN=45°,過點D作直線AN的垂線,垂足為G,DG與x軸交于點M,此時2A M+2DM=2DG的值最小,由2DC=27 2/4列出關(guān)于6的方程求解便可。
【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題,主要考查了待定系數(shù)法、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角形面積公式、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識。第(2)小問的關(guān)鍵是由面積關(guān)系列出m的方程,第(3)小問的關(guān)鍵是利用“胡不歸”模型確定2AM+2DM的最小值為2DG的值。
(作者單位:江蘇省泗陽縣實驗初級中學(xué))