二次函數(shù)在生活中的應用

孫艷

二次函數(shù)是初中階段數(shù)學中的一個重要組成部分，也是中考中的必考內(nèi)容，它的重要性顯而易見。而隸屬其中的在實際生活中的應用又是二次函數(shù)的一個難點，很多同學從心理上就怵它，學起來便顯得很吃力。在實際生活中，橋梁、隧道、噴泉、經(jīng)濟、球類運動軌跡等都融合了二次函數(shù)的相關知識點。下面我們從常見的二次函數(shù)與實際生活問題之間的關系中選擇橋梁和經(jīng)濟兩種類型來分析，希望能使同學們的學習達到事半功倍的效果。

一、二次函數(shù)在橋梁中的應用

例1 有一座拋物線形拱橋，在正常水位時，水面AB的寬為20米;在警戒水位時，水面寬12米。如果水位上升3米時，水面CD的寬為16米。

（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担蟠藪佄锞€表達式;

（2）在正常水位時，有一艘寬8米、高3.5米的船只，能否通過此橋？

（3）若正常水位時，水深4米，為了保證船只順利通過，水面寬度不得小于警戒水位，求水深超過多少時會影響船只通行？

（4）現(xiàn)有一輛距橋440千米的貨車以36千米/小時的速度開向此橋，行使2小時后，接到通知，前方連降暴雨，造成水位以每小時0.5米的速度上漲，問如果貨車按原速行駛，能否安全過橋（橋長忽略不計，達到警戒水位時不能過橋）。若能，說明理由;若不能，要使貨車安全過橋，速度應不小于多少千米每小時？

【分析】（1）求拋物線表達式是解決二次函數(shù)相關問題的基礎。求二次函數(shù)表達式的方法有：

①一般式：已知拋物線上三點坐標，可設y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）;

②交點式：已知拋物線與x軸的兩個交點，可設y=a（x-x1）（x一x2）（a≠0）;

③頂點式：已知拋物線的頂點坐標或?qū)ΨQ軸或最值，可設y=a（x-h）2+k（a≠0）。

本題也可建立其他的平面直角坐標系，答案不唯一。

（2）根據(jù)船只的寬度和拋物線表達式，當橫坐標是4時，求出此點到橋面的距離;再根據(jù)正常水位時的條件，求出水面到橋面的距離。這兩個距離之差與3.5比較，大于3.5時能通過，否則不能。

（3）當水面寬度就是警戒水位時，求出此時水面到橋面的距離，再根據(jù)正常水位時水面到橋面的距離，可求不影響船只通行的水深的最大值。

（4）本題實質(zhì)上是行程類問題，根據(jù)路程=速度×時間，算出到達警戒水位時的時間，求出貨車行駛的路程。若求出的路程大于等于440千米時，可順利通過橋，反之，不能。

解：（1）如圖1所示建立平面直角坐標系，設拋物線的表達式為y=ax2（a≠0），OH=h。

∵AB=20，CD=16，OH=h，，EH=3，

∴BE=10，DH=8，OE=h+3，

∴B（10，-h，-3），D（8，-h）.

∴船只能順利通過。

答：水深超過28/3米時，影響船只通行。

（4）設￡小時后水位達到警戒水位，由題意，得0.5t= 25/3-3，解得t=32/3。

∴此時貨車行駛的路程=36×（2+32）=456（千米）。

∵456 >440，∴貨車能夠安全過橋。

【點評】本題考查二次函數(shù)在橋梁中的應用，借助平面直角坐標系確定二次函數(shù)表達式及利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關鍵。

二、二次函數(shù)在銷售中的應用

例2 在抗擊“新冠”疫情期間，某藥店以每個2元的進價購進一批某型口罩售賣。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若按定價每個3元銷售，每天可銷售500個。定價每增加1元，每天將少賣100個。按相關政策，該型口罩售價不能超過6元，同時假設定價不低于每個3元。設定價為每個x元，每天銷售量為y個。

（1）請寫出y與x的函數(shù)表達式及自變量x的取值范圍：

（2）設該藥店銷售這批口罩一天的利潤為W元，求W與x的函數(shù)表達式;

（3）當藥店將口罩定價為每個多少元時，每天所獲利潤最大？最大利潤是多少元？

（4）該藥店老板熱心公益事業(yè)，決定從每天的銷售利潤中捐出100元給希望工程。為保證捐款后每天剩余利潤不低于700元，請寫出該口罩售價的范圍。

【分析】（1）定價每個3元，可銷售500個，定價每增加1元，每天將少賣100個，即x比3大多少就少賣多少個100。

（2）本問考查二次函數(shù)在銷售問題中的應用，理清成本、利潤之間的關系是解決問題的關鍵。總利潤=總銷售額一總成本，總銷售額=售價×銷量，總成本=進價×銷量。

（3）二次函數(shù)最值的求法：配方法或頂點公式法。需注意自變量的取值范圍、對稱軸、函數(shù)圖像增減性等。

（4）捐款后的利潤=銷售利潤-100，即W-100≥700。還可利用解方程或數(shù)形結(jié)合思想解決。

解：（1）由題意，得y=500-100 （x-3）=800-lOOx（ 3≤x≤6）。

（2）由題意，得W=xy-2y= （x-2）y= （x-2）（800-lOOx）=-lOOx2+lOOOx-1600.

（3）∵W=-100x2+lOOOx-1600=-100 （x-5）2+900，

又∵-100<0，3≤x≤6，

∴當x=5時，W最大=900。

答：當藥店將口罩定價為每個5元時，每天所獲利潤最大，最大利潤為900元。

（4） W-100=-100x2+lOOOx-1600-100.

∵100x2+lOOOx-1600-100≥700.

∴x2-lOx+24≤0.

∴（x一4）（x-6）≤0。

∴x一4≥0，或x一4≤0，

x-6≤0， x- 6≥0。

∴4≤x≤6。或如圖2所示：

令y'=X2-10x+24，

∵x2-lOx+24≤0.

∴y≤0，由圖可得4≤x≤6。

答：該口罩售價的范圍是4≤x≤6。

【點評】本題考查了二次函數(shù)在銷售方面的應用及二次函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系。理清題中的數(shù)量關系并明確二次函數(shù)的表達式與相關性質(zhì)是解決問題的關鍵。

利用二次函數(shù)建立數(shù)學模型來解決實際問題，用數(shù)學思維來分析實際問題，才是真正搭建了數(shù)學與生活的橋梁。

（作者單位：江蘇省泗陽縣實驗初級中學）