例析2019年北京高考數(shù)學(xué)試題的幾個(gè)亮點(diǎn)及啟示

尹嶸

摘要：2019年北京高考數(shù)學(xué)試題突出了對(duì)概念本源的考查、對(duì)過程性學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)、對(duì)開放性試題的設(shè)計(jì)探索，始終堅(jiān)持“數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用”的“國(guó)民數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的考查，本文例析上述的幾個(gè)亮點(diǎn)，并提出思考和建議，

關(guān)鍵詞：概念本源;過程性評(píng)價(jià);開放性;數(shù)學(xué)應(yīng)用

2019年的高考已經(jīng)落下帷幕，但對(duì)于高考試題的研究卻如火如荼，作為在高考命題中獨(dú)樹一幟的北京卷，在此次試題的命制中，不少方面都體現(xiàn)了新課程改革深入進(jìn)行的探索，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育在立德樹人方面的考查，命題進(jìn)一步加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)了以能力立意、創(chuàng)新導(dǎo)航的數(shù)學(xué)高考新形態(tài)，作為長(zhǎng)期在高三一線的數(shù)學(xué)教師，筆者對(duì)試題進(jìn)行了研究，摘選了2019年北京卷所呈現(xiàn)的幾個(gè)亮點(diǎn)進(jìn)行了評(píng)析，供同行商榷。

1突出了對(duì)概念的本質(zhì)和多元表征的考查

《2019年北京卷考試說明》明確指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科高考注重考查中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法，”試題考查了學(xué)生對(duì)基本概念的本源的理解，及對(duì)概念進(jìn)行多元表征的能力，使學(xué)生真正掌握概念，夯實(shí)基礎(chǔ)，學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，基本能力的發(fā)展，基本態(tài)度和價(jià)值觀的養(yǎng)成，共同構(gòu)成了學(xué)生終身發(fā)展的基礎(chǔ)。

例1（2019年北京卷文科第6題）設(shè)函數(shù)f（x）=COSx+bsinx（b為常數(shù)），則“b=o”是“f（x）為偶函數(shù)”的（ ）。

A，充分而不必要條件

B，必要而不充分條件

c，充分必要條件

D，既不充分也不必要條件

評(píng)析函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的基本性質(zhì)，是完整理解函數(shù)概念的必備條件，對(duì)于考生來說，對(duì)于函數(shù)的研究，應(yīng)該具備對(duì)同一概念的多元表征能力，而此題，學(xué)生可以從以下幾個(gè)方面來解決：

（3）從圖象入手，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可以通過），=COSX，y=bsinx的圖象的疊加來分析，

此題滿足了不同程度的考生對(duì)函數(shù)的奇偶性概念的理解的考查，而一題多解則可以加深對(duì)概念本源的理解，

例2（2019年北京卷文科第17題）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變，近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一，為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

（1）估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù);

（2）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率;

（3）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化，現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元，結(jié)合（2）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由。

評(píng)析一直以來，概率與統(tǒng)計(jì)承擔(dān)著對(duì)數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的考查功能，2013年起，北京卷的概率與統(tǒng)計(jì)的第（3）問，比較注重對(duì)一些概念本源的考查，這是一個(gè)特別好的考查點(diǎn)，如：對(duì)平均數(shù)和方差的概念本源的考查，深受師生歡迎，而本題第（3）問是對(duì)隨機(jī)事件概率的概念的考查，考查考生對(duì)概念的理解是否到位。

（1）“概率”的大小，是“可能性”的大小，作為隨機(jī)事件的概率，我們一般把發(fā)生概率小于5%的事件，稱為“小概率事件”，而通常認(rèn)為在一次試驗(yàn)中，小概率事件是不應(yīng)該發(fā)生的，所以如果從這個(gè)角度人手，則由題意，我們認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化;但是，從另一個(gè)角度來看，可能性小的事件，不代表一定不發(fā)生，也有可能發(fā)生，這也是概率的意義，所以回答沒有變化也是可以的，這關(guān)系到從概念本質(zhì)和統(tǒng)計(jì)意義的不同角度來分析，學(xué)生關(guān)鍵在于深刻理解了隨機(jī)性的本質(zhì)，理解了概率的概念，就可以從容地回答好這道題;

（2）概率統(tǒng)計(jì)貼近生活實(shí)際，學(xué)生真正理解了概率中的相關(guān)概念，才能對(duì)生活中的隨機(jī)現(xiàn)象，做出合理的科學(xué)的解釋，比如：“降水概率”“抽獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)的概率”等問題的解釋，這有利于“學(xué)以致用”，有利于弘揚(yáng)正能量和社會(huì)主義核心價(jià)值觀。

2注重過程學(xué)習(xí)。重視過程評(píng)價(jià)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017版）明確指出：數(shù)學(xué)教育教學(xué)要“重視過程評(píng)價(jià)，聚焦素養(yǎng)，提高質(zhì)量”，在北京卷的命題中，不少試題“不僅注重結(jié)果，更注重過程，注重考生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，相關(guān)的學(xué)科核心素養(yǎng)的形成過程的考查，以能力立意，注重學(xué)生的終身發(fā)展，既要掌握“魚”，更要掌握“漁”。

例3（2019年北京卷理科第8題）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線c：x²+y²=1+xy就是其中之一（如圖1），給出下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線c恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）;

②曲線c上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2;

③曲線c所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）。

A，① B，② C，①② D，①②③

評(píng)析我們?cè)诮虒W(xué)中，常常說：要注重過程性學(xué)習(xí)，但是，怎樣在高考中體現(xiàn)過程學(xué)習(xí)的考查呢？應(yīng)該說，這道題是一道很好地體現(xiàn)了過程性學(xué)習(xí)能力考查的試題，題目是考查學(xué)生對(duì)一個(gè)未知曲線（多數(shù)學(xué)生可能聽說過心形曲線，但并不熟悉）的性質(zhì)的研究。

學(xué)生在高中學(xué)習(xí)過曲線與方程，對(duì)于用坐標(biāo)法研究曲線的性質(zhì)并不陌生，并且初步掌握了研究的一股方法與步驟，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了圓、橢圓、雙曲線和拋物線等常見的圓錐曲線的方程、圖象和性質(zhì)，那么，有了這些實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，考生是否能真正掌握一般的方法，去獨(dú)立研究（探索）一個(gè)新的曲線的圖象和性質(zhì)呢？這就考查了學(xué)生是否真的掌握了研究的過程與方法。

在解題過程中，學(xué)生還可以利用圖形的對(duì)稱性（從曲線方程可以得知）來簡(jiǎn)化研究：只需研究y軸右方即可，另外，此題展示出的優(yōu)美的心形曲線，蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)美（包括笛卡爾的愛情故事）的滲透，這也是數(shù)學(xué)的文化價(jià)值和美育價(jià)值的體現(xiàn)。

3小中見大的開放性試題

2017年的北京高考試題，首次出現(xiàn)了開放性試題，雖然僅僅是一道難度適中的填空題，卻給了我們一種新的感受，也成為了北京卷的一個(gè)亮點(diǎn)，在2018年、2019年的高考試題中，北京卷延續(xù)了這種出題的風(fēng)格，如：2018年理科卷的13題，文科卷的11題，再次呈現(xiàn)了開放性試題，在教育考試院的評(píng)價(jià)中，明確指出：“2018年試題強(qiáng)調(diào)開放性和創(chuàng)新性，選擇非常規(guī)的情境和思維深刻的問題，讓學(xué)生綜合地運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，多角度、多層次地思考問題，”作為開放性試題，符合新課改“促進(jìn)學(xué)生全面而有個(gè)性的發(fā)展”的教育理念，承載了考查學(xué)生對(duì)基本概念的深刻理解，考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性和創(chuàng)新性等多種功能，那么，2019年的開放性試題是怎樣呈現(xiàn)的呢？

例4（2019年北京卷文科第13題，理科第12題）已知l，m是平面a外的兩條不同直線，給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m;②m∥a;③zj_出以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__。

評(píng)析2017年、2018年的開放性試題，屬于結(jié)論開放性和條件開放性，均為舉例證偽的模式，因此大家容易形成一個(gè)固定的思維模式，不利于思維的廣闊性的培養(yǎng)，這道題改變了這兩年的開放型試題的考查模式，類型上屬于綜合開放型，此題的呈現(xiàn)方式在1999年的高考試題中呈現(xiàn)過，此題考查考生對(duì)線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)的深刻理解，需要考生自己選擇或構(gòu)造一定的條件，并得出另一個(gè)明確的結(jié)論，答案的不唯一性，也兼顧了不同程度的考生的理解水平和動(dòng)手能力，考查了考生的創(chuàng)新意識(shí)。

4從“關(guān)注一隅”到“覽其全貌”

每當(dāng)一個(gè)新的知識(shí)引入到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，我們的關(guān)注點(diǎn)更多的在于這個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)本身，我們關(guān)心老師和學(xué)生是否都能夠真正理解這個(gè)知識(shí)，并初步運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來解決問題，階梯式拾級(jí)而上，在經(jīng)過一段時(shí)間的教學(xué)實(shí)踐，我們對(duì)知識(shí)的理解達(dá)到了一定的成熟度后，才能進(jìn)一步關(guān)注應(yīng)用，其中，“導(dǎo)數(shù)”章節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)和考查，正是經(jīng)歷了這個(gè)過程，進(jìn)入高考考查之初，“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”主要考查對(duì)導(dǎo)數(shù)本身的理解，如：求切線方程、討論函數(shù)單調(diào)性等等，然后發(fā)展到利用導(dǎo)數(shù)工具來研究函數(shù)性質(zhì)（其中還包括對(duì)研究的函數(shù)進(jìn)行選擇和構(gòu)造的問題），但基本上一旦函數(shù)選定，導(dǎo)數(shù)能夠貫穿始終，這些考查方式，符合知識(shí)的認(rèn)知過程，也有利于導(dǎo)數(shù)工具的熟練掌握，但過度強(qiáng)化了單一的導(dǎo)數(shù)工具的作用，弱化了其他工具在函數(shù)性質(zhì)研究中的作用，在2019年的高考中，“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”試題的命制，出現(xiàn)了可喜的變化，體現(xiàn)了對(duì)多種研究函數(shù)方法的考查，而不再是“一個(gè)導(dǎo)數(shù)，包打天下”，在函數(shù)的研究中，有利于全面掌握方法，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升綜合能力。

評(píng)析這道題的第（1）（2）問比較直白，一般的學(xué)生都能夠上手，考查了導(dǎo)數(shù)的基本概念和基本方法;亮點(diǎn)在第（3）問，一是考查了學(xué)生的觀察能力，注意第（3）問與第（2）問的聯(lián)系來輔助解題，在處理絕對(duì)值時(shí)，可以通過以下幾個(gè)角度人手：

（1）絕對(duì)值的定義（代數(shù)意義），對(duì)兩個(gè)端點(diǎn)值的大小進(jìn)行分類討論;

（2）絕對(duì)值的幾何意義，從圖象翻折變換的角度進(jìn)行處理。

如果考生能夠把圖象的翻折情況想清楚，那么處理起來也比較得心應(yīng)手。

函數(shù)試題的重心歸根結(jié)底是對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，包括：三要素、圖象、相關(guān)的性質(zhì)等等，此題的好處在于讓考生意識(shí)到，導(dǎo)數(shù)并不是貫穿始終的唯一的工具，在需要導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，我們用它;在需要用到別的工具的時(shí)候，我們用別的工具，而所有的工具，都是在為我們研究這個(gè)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來服務(wù)的，這就回到了導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的根本目的，利用導(dǎo)數(shù)工具來輔助研究函數(shù)性質(zhì)，這也給我們發(fā)出了一個(gè)信息：即讓考生和教師跳出較為狹隘的唯導(dǎo)數(shù)觀點(diǎn)，回到較為全面的看待和研究函數(shù)的方法上來。

5“數(shù)學(xué)之眼看世界”，貼近生活實(shí)際

讓學(xué)生學(xué)“有用”的數(shù)學(xué)，讓他們感受到數(shù)學(xué)來源于生活和生產(chǎn)實(shí)際，也服務(wù)于生活與生產(chǎn)，服務(wù)于科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)等諸多領(lǐng)域，正如數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，對(duì)“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的培養(yǎng)：讓考生學(xué)會(huì)對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)模型解決問題。

例6（2019年北京卷理科第14題，文科第14題）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒，為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元，每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%，

（1）當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付——元;

（2）在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為—一

評(píng)析這道數(shù)學(xué)應(yīng)用題有幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

（1）突出了對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，尤其是數(shù)學(xué)建模和邏輯推理的考查;

（2）突出了對(duì)考生的閱讀理解能力的考查，文字通俗易懂，并不生澀，學(xué)生通過認(rèn)真閱讀，能夠理解題意，不會(huì)產(chǎn)生對(duì)應(yīng)用題閱讀的先行恐懼感和厭倦感，所以此題雖然有一定的閱讀量，但并沒有在閱讀難度上設(shè)坎，此處的度把握得很好;

（3）突出了對(duì)考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的考查，是“學(xué)以致用”的良好導(dǎo)向：?jiǎn)栴}貼近生活實(shí)際，考生基本上具備相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)，特別是第（1）問，只要理解了就能上手，屬于基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng);第（2）問在數(shù)學(xué)建模上，有較高的思維價(jià)值，但只要抓住最低保障就能解決此題，所以突出了學(xué)以致用能力的考查，也引導(dǎo)學(xué)生注意觀察生活，培養(yǎng)學(xué)以致用的“數(shù)學(xué)之眼看世界”的國(guó)民數(shù)學(xué)素養(yǎng)！

6結(jié)束語(yǔ)

總之，我們從以上幾個(gè)亮點(diǎn)的分析，可以看到：2019年的北京高考試題，突出了能力立意，突出了對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，是一份大氣的試卷，這份試卷所傳遞的新課改的信息，給我們的日常教學(xué)和高考復(fù)習(xí)以良好的導(dǎo)向作用，給我們以下的一些啟發(fā)和思考，值得我們?nèi)フJ(rèn)真研究和體會(huì)：

（1）對(duì)基本概念本源的考查，加強(qiáng)了在日常教學(xué)中對(duì)基本概念教學(xué)的重視度，增加了對(duì)于概念的引入方式、概念的形成過程和對(duì)概念的辨析、對(duì)于概念的多元表征的教學(xué)的研究;

（2）對(duì)于過程性教學(xué)，更注重學(xué)生的探究和體驗(yàn)，更重視對(duì)于方法的梳理和總結(jié)必須改變只重結(jié)果，不重過程的“掐頭去尾燒中段”的教學(xué)模式，變死學(xué)為活學(xué);

（3）開放性試題影響著學(xué)生的思維方式，對(duì)“一題多解，一題多變”有較好的促進(jìn)作用，也促進(jìn)了對(duì)一些概念、定理和方法的條件和結(jié)論的充要性的研究，促進(jìn)了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和廣闊性的培養(yǎng);

（4）“考試貼近教學(xué)，數(shù)學(xué)貼近生活”，促進(jìn)了對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用——數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)知識(shí)的生活體驗(yàn)不僅僅呈現(xiàn)在新概念的引入處，數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用還將拓展到更大的領(lǐng)域，在日常教學(xué)中，老師們應(yīng)通過課堂教學(xué)、試題編制、相關(guān)講座、興趣小組、課題調(diào)研等多種方式，促進(jìn)學(xué)生“學(xué)以致用”的思想的滲透和培養(yǎng)。