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    凸顯四要素 助力培素養(yǎng)

    2020-01-18 02:26:04陳之領(lǐng)
    數(shù)學教學通訊·高中版 2020年10期
    關(guān)鍵詞:思維活動數(shù)學本質(zhì)實踐應(yīng)用

    陳之領(lǐng)

    [摘? 要] 文章通過“基本不等式”一節(jié)課四個環(huán)節(jié)的教學設(shè)計,例談了如何在培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)視角下的教學設(shè)計凸顯適切情境、思維活動、數(shù)學本質(zhì)、實踐應(yīng)用等課堂教學四要素.

    [關(guān)鍵詞] 數(shù)學學科核心素養(yǎng);適切情境;思維活動;數(shù)學本質(zhì);實踐應(yīng)用

    《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》(以下簡稱《標準》)指出:高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析. 特別強調(diào)數(shù)學學科核心素養(yǎng)既相對獨立,又相互交融,是一個有機的整體. 《標準》自頒布以來,如何培養(yǎng)高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)日益成為數(shù)學課堂教學中的熱點問題. 基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)視角下的課堂教學設(shè)計要凸顯哪些要素是值得思考的一個問題. 筆者以為適切情境、思維活動、數(shù)學本質(zhì)、實踐應(yīng)用等四要素是值得追求的. 下文以“基本不等式”這節(jié)課的教學設(shè)計為例,淺談自己粗淺的感受.

    ■情境——創(chuàng)設(shè)適切情境,滲透數(shù)學文化

    課堂教學的任務(wù)就是把科學形態(tài)的數(shù)學變成教育形態(tài)的數(shù)學、文化形態(tài)的數(shù)學. 學生學習新的知識,要講究效率,更要經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程,因此情境的創(chuàng)設(shè)就顯得尤為重要.

    情境創(chuàng)設(shè)有很多種類型,如生活情境、游戲情境、科學情境等. 適切的情境有助于引起學生的學習興趣,有利于知識更好更快地呈現(xiàn),有利于學生更好地理解知識產(chǎn)生的源頭或必要,有利于學生核心素養(yǎng)的形成與提高.

    三國時期趙爽創(chuàng)制了一張弦圖,直觀而絕妙地證明了勾股定理. 在設(shè)計本節(jié)課教學情境時,筆者借鑒趙爽弦圖直觀簡潔的特點,仿制了這樣一個折紙活動教學情境:

    第一步:每位同學用兩張面積分別為a,b(如圖1)的正方形紙片,沿對角線對折成如圖2所示的圖形,然后將對折后的等腰直角三角形紙片沿斜邊重合.

    第二步:小三角形上沿延長至大三角形的直角邊,整個拼圖就變成了一個矩形和一個更小的等腰直角三角形,如圖3.

    問題1:整個拼圖的面積和矩形的面積分別是多少?

    問題2:顯然拼圖的面積(整體)大于矩形的面積(局部),你能用數(shù)學符號語言來表達這一結(jié)論嗎?

    問題3:問題2中的結(jié)論描述了一種不等關(guān)系,那么滿足什么條件時兩者的面積相等?

    學生很快就得到了這三個問題的答案:

    問題1的答案:■與■;

    問題2的答案:■>■;

    問題3的答案:等號成立的條件是a=b.

    從學生的反應(yīng)來看,上述折紙活動簡單易做,結(jié)論簡潔明了. 與教材中的“用制造的不精確的天平測兩次同一物體的質(zhì)量”相比,折紙活動的情境創(chuàng)設(shè)源頭來自趙爽弦圖,進行合理的遷移,直觀而簡潔,學生易于接受而又感興趣,凸顯了數(shù)學文化的韻味. 學生從具體的折紙活動抽象到代數(shù)式的生成是一個理性思維形成的過程,既是數(shù)學抽象的過程,又是歸納整理的過程,為數(shù)學建模提供了有效方案和解決經(jīng)驗.

    ■活動——鼓勵活動探究,提升批判思維

    折紙活動中,學生雖然感知了基本不等式公式的形式,但對其深刻的內(nèi)涵還沒有剖析和領(lǐng)悟,為了進一步引導學生自主探索和理解基本不等式的“基本”含義,定理形成的抽象過程以及邏輯上的正確,在給出算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)兩個概念之后,筆者又設(shè)計了以下活動.

    針對以下幾個“問題串”,請同學們思考并討論:

    問題4:有沒有可能出現(xiàn)■<■呢?如果不能,為什么?如何證明你的結(jié)論?

    問題5:結(jié)論可以合寫為■≥■嗎?那么結(jié)論中的a,b有什么范圍?如果脫離紙片這個載體,結(jié)論中的a,b的范圍可否再擴大?能否用文字語言表達這一結(jié)論?

    問題6:在證明結(jié)論過程中,你發(fā)現(xiàn)■≥■其實和哪個知識是等價的?

    對于問題4,學生通過自己獨立的思考和相互交流之后認為不可能出現(xiàn)■<■,理由是圖形整體的面積不可能比局部面積小,但是具體如何證明有難度,經(jīng)過筆者點撥后順利地用差比法證明了■≥■一定成立.

    對于問題5,學生認為a,b的范圍可以從大于零擴展為非負數(shù),即a=0,b=0亦適用,但對于文字表述存在困難,絕大多數(shù)的學生還在表述中存在具體的字母a,b而沒有抽象為任意兩個非負數(shù),經(jīng)指出后認識到其一般性:兩個非負數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù).

    對于問題6,學生一致給出了想法:實數(shù)平方非負,因為證明到最后,其實是利用了(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0反映了實數(shù)的基本性質(zhì),正是源于實數(shù)的這一基本性質(zhì),我們把其稱為基本不等式.

    設(shè)計這個活動是為了讓學生在對自己感知的結(jié)論進行批判性反思的基礎(chǔ)上,進行一般性的抽象,上升為理性的數(shù)學成果. 學生運用數(shù)學語言進行表達和交流,通過推理完善知識的構(gòu)成,辨析運算中的字母優(yōu)化數(shù)學思維,進而形成數(shù)學核心素養(yǎng).

    ■本質(zhì)——淡化數(shù)學形式,注重本質(zhì)理解

    學生在經(jīng)歷了6個問題以后,得到了完整的基本不等式定理,也理解了“基本”的含義,理解了基本不等式是兩個平均數(shù)的比較,但對其深刻的內(nèi)涵還沒有充分挖掘. 《標準》對這一知識點的要求是“掌握”. 掌握意味著要能分析、推導、證明、運用、解決等. 為了讓學生進一步理解定理的本質(zhì),達成課程目標,筆者設(shè)計了如下活動.

    問題7:a,b既然是任意非負數(shù),如果把■當成b,會得到什么樣的結(jié)論?

    問題8:求函數(shù)y=x+■(x>0)的最小值.

    問題9:求函數(shù)y=x+■(x>-2)的最小值.

    問題10:函數(shù)y=sinx+■,x∈(0,■)有最小值嗎?

    “問題串”的設(shè)計從一個數(shù)變成一個式開始(本質(zhì)上代數(shù)式運算的結(jié)果還是一個數(shù)),逐漸過渡到右邊結(jié)果為定值,再過渡到形式上的補數(shù)湊形,到最后關(guān)注等式成立的條件,使學生對定理在運用時的條件有了本質(zhì)的把握. 問題解決過程中,學生時而能快速理解,時而一步不前,時而又聯(lián)想頓悟. 對定理形式化表達和運用有了更準確的理解.

    ■應(yīng)用——強化數(shù)學應(yīng)用,拓展學生素養(yǎng)

    《標準》指出:數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)……是在數(shù)學學習和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的. 數(shù)學的應(yīng)用既有數(shù)學抽象體系內(nèi)的運用,也有現(xiàn)實生活中的實踐應(yīng)用. 實踐運用幫助學生從現(xiàn)實生活進行抽象,用數(shù)學語言表達問題,用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題.

    問題11:汽車已經(jīng)成為如今很多人出行的方式. 疫情期間,沙特、俄羅斯和美國產(chǎn)生石油矛盾,油價起伏較大,試以兩次加油為例,說明定量加油和定金額加油哪種方式更劃算?(定量加油是指每次加相同的油量,定金額加油是指每次加相同的金額)

    事實上,如何理解“加油劃算”是一道坎,用更少的錢加相同的油或用相同的金額加更多的油,本質(zhì)都是考慮到兩次加油后油價均價更低,所以需要抽象出“均價”這一概念. 如何表示每種方式兩次加油后油價的均價又是一道坎,生活中,均價的概念是總價除以總量,需要學生有一定的生活體驗. 如何比較兩種均價高低涉及數(shù)學中比大小的方法,在證明基本不等式時差比法課堂上剛涉及,難度不是很大. 兩種加油方式涉及的兩次油價的均價分別對應(yīng)了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù),判斷兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)的大小關(guān)系恰恰進一步深化了學生對基本不等式的理解. 在整個題目求解的過程中,學生對不等式的學習會有更深刻的理解.

    高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn),也是高中數(shù)學課堂教學改革追求的核心. 在以培養(yǎng)核心素養(yǎng)為目標的教學設(shè)計中,如果能創(chuàng)設(shè)適切的情境,組織形式多樣的數(shù)學思維活動,不斷突破數(shù)學的本質(zhì)理解,加強數(shù)學知識的實踐應(yīng)用,一定能夠助力學生提高數(shù)學學習的興趣,增強學好數(shù)學的信心,提升數(shù)學學科核心素養(yǎng).

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