關(guān)于函數(shù)最值問題的理論探討與解法示例

李彬彬

[摘? 要] 函數(shù)最值問題可以全面考查學(xué)生的能力，以該類問題為基礎(chǔ)開展教學(xué)探討，引導(dǎo)學(xué)生掌握解法對于提升學(xué)生能力、發(fā)展核心素養(yǎng)極為有利. 文章剖析函數(shù)最值問題，探討理論基礎(chǔ)，舉例探析常用解法.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);最值;理論;方法;建議

■問題綜述

函數(shù)最值問題是數(shù)學(xué)的一類典型問題，涉及眾多數(shù)學(xué)知識，與生產(chǎn)實(shí)際也息息相關(guān). 函數(shù)是問題的靈魂所在，其中的最值則是函數(shù)的一種重要屬性，問題突破需要從函數(shù)的性質(zhì)角度出發(fā)來探究，對學(xué)生基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思維有著一定的要求. 同時(shí)該類問題的求解過程需要利用一些思想方法，利用數(shù)學(xué)思想來構(gòu)建解題思路，因此解題過程可視為是基礎(chǔ)知識、解題方法和數(shù)學(xué)思想的綜合.

分析函數(shù)最值問題類型，總體上有以下兩個特點(diǎn)：（1）問題的呈現(xiàn)形式主要有三種命題形式，①直接給出函數(shù)，求該函數(shù)的最值;②在解答問題中作為子問題，需要給出解析過程;③以隱含問題構(gòu)建，如不等式、存在性問題、幾何應(yīng)用題優(yōu)化等，解析時(shí)需要將其轉(zhuǎn)化為最值問題. （2）問題的變量多變，單一變量較為簡單，多變量函數(shù)最值問題，雖形式簡單，但難以找到突破口，需要進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化.

■突破理論

函數(shù)最值問題較為典型，對學(xué)生的解析思維有著一定的要求，提升學(xué)生問題解析能力需要從三方面入手：（1）深入理解最值概念，從不等式角度加以剖析，把握其中的兩個要素，①不等式與函數(shù)最值的關(guān)聯(lián)，關(guān)注不等式恒成立中的定義域;②關(guān)注不等式成立時(shí)等號的選取. （2）透視復(fù)雜函數(shù)，歸納多變量函數(shù)最值問題，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解析問題的能力. （3）函數(shù)最值的概念與其他知識有著緊密的關(guān)聯(lián)，綜合性和應(yīng)用性較強(qiáng)，應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用意識和轉(zhuǎn)化意識，深入培養(yǎng)學(xué)生的建模能力、數(shù)學(xué)分析能力，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

函數(shù)最值問題的求解需要掌握一定的理論基礎(chǔ)，從本質(zhì)上看就是求函數(shù)的最大值和最小值，因此需要深入理解最值定理，定理內(nèi)容中對函數(shù)的區(qū)間進(jìn)行了分類，明確了連續(xù)函數(shù)和有斷點(diǎn)的函數(shù)，理解時(shí)需要關(guān)注有最值的情形，而對于不連續(xù)的函數(shù)則需要討論斷點(diǎn)處是否有最值，不能一味地照搬連續(xù)函數(shù)最值問題的解析思路.

對于函數(shù)最值問題，求解時(shí)可以結(jié)合函數(shù)區(qū)間上連續(xù)與圖像曲線連續(xù)之間的關(guān)聯(lián)，即“f（x）在區(qū)間上連續(xù)”？葑“函數(shù)圖像為連續(xù)曲線”. 求函數(shù)的最值實(shí)則就是求在區(qū)間上曲線的最值點(diǎn)，可能的點(diǎn)包括曲線的端點(diǎn)和曲線內(nèi)部的凸點(diǎn)和凹點(diǎn). 在解析教學(xué)時(shí)需要利用直觀的圖像來展示問題，如圖1函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為較為簡單的直接的問題. 同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題根本，可以肯定的是：在函數(shù)區(qū)間上的最值必然也是局部的最大值或最小值，因此在該情形下，函數(shù)的極值點(diǎn)就是其最值點(diǎn);而對于開區(qū)間（a，b），其駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)就是其極值點(diǎn)，只需要提取函數(shù)中的這些特殊點(diǎn)，然后計(jì)算特殊點(diǎn)對應(yīng)的值，并加以比較就可以確定結(jié)論. 教學(xué)中同樣可以借助直觀的圖像，如圖2所示，端點(diǎn)坐標(biāo)是（a，f（a））和（b，f（b）），駐點(diǎn)坐標(biāo)為（x■，f（x■））和（x■，f（x■）），而（x■，f（x■））為其不可導(dǎo)點(diǎn). 若求解f（x）的最值，通過比較上述特殊點(diǎn)位置處的函數(shù)值大小就可實(shí)現(xiàn).

從上述分析可以得出如下結(jié)論：求解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值，只需要關(guān)注其中的端點(diǎn)、駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn). 具體求解可以按照一定的思路方法進(jìn)行，概括為“求導(dǎo)，找點(diǎn)，計(jì)算，比較”八字.

①首先，根據(jù)題設(shè)條件明確f（x）的區(qū)間，求解f′（x）;

②其次，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f′（x）提取開區(qū)間上的特殊位置的點(diǎn)（駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)）;

③然后，逐個計(jì)算三大類點(diǎn)（端點(diǎn)、駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)）處具體的值;

④對比三大類點(diǎn)的函數(shù)值，根據(jù)值的大小即可確定函數(shù)的最大值和最小值.

■方法解讀

對于函數(shù)最值問題，在掌握基本的解題思路基礎(chǔ)上，還需要關(guān)注其具體的解題方法，該類問題的解法也較為多樣，合理利用可以顯著提高解題效率. 解析問題時(shí)可采用代數(shù)轉(zhuǎn)化法和函數(shù)單調(diào)性等方法，針對具體的問題需要根據(jù)函數(shù)的解析式、變量個數(shù)、函數(shù)曲線、區(qū)間特點(diǎn)等來選定方法，下面舉例講解.

1. 配方法

配方法是求解該類問題的有效解法，主要內(nèi)容是將函數(shù)解析式中的某些項(xiàng)分配為一個或多個多項(xiàng)式，從而達(dá)到簡化問題的效果. 該方法較為簡單，容易掌握，對于三角函數(shù)最值問題，可以采用配方法對函數(shù)解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，后續(xù)利用正弦或余弦函數(shù)的值域來確定原函數(shù)的最值;而對于復(fù)合性函數(shù)，則可以整體上轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)來解決，如下列問題可用配方法解決.

例1：已知函數(shù)y=2x+2-3·4x，如果-1≤x≤0，試求該函數(shù)的最值.

解析：上述函數(shù)屬于復(fù)合函數(shù)，利用配方法可逐步將問題變?yōu)閷?yīng)的二次函數(shù)，具體如下，y=-32x-■■+■，已知-1≤x≤0，則■≤2x≤1. 由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得：當(dāng)2x=1時(shí)，取得最小值1;當(dāng)2x=■時(shí)，取得最大值■.

評析：上述函數(shù)采用配方法，最終將最值問題變?yōu)榱硕魏瘮?shù)問題，從而借用二次函數(shù)的性質(zhì)確定了最值. 這是由于轉(zhuǎn)化后函數(shù)單調(diào)性簡單明了，可直接確定函數(shù)在區(qū)間上的變化趨勢，問題中最小值的點(diǎn)位于其端點(diǎn)處，而最大值的點(diǎn)位于其駐點(diǎn)處.

2. 單調(diào)性法

單調(diào)性法，即利用函數(shù)的單調(diào)性來確定函數(shù)在定義域上變化趨勢的方法. 求解時(shí)可以借用求導(dǎo)的方式來確定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)其單調(diào)性直接獲得最值點(diǎn).

例2：已知f（x）=x3-3x+1，試求函數(shù)在區(qū)間[-3，0]上的最值.

解析：上述為一元三次函數(shù)，可以結(jié)合求導(dǎo)利用函數(shù)單調(diào)性法來求解，則有f′（x）=3x2-3，分析可知在[-3，-1）上，f′（x）>0，f（x）在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);在[-1，0]上，f′（x）≤0，f（x）在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù). 綜合分析可知x=-1時(shí)f（x）取得最大值，且f（-1）=3，則其最小值在端點(diǎn)處，由于f（-3）=-17< f（0）=1. 綜上可知原函數(shù)的最大值為3，最小值為-17.

評析：上述求解函數(shù)的最值采用了單調(diào)性法，而函數(shù)的單調(diào)性確定使用了求導(dǎo)的方式，其中函數(shù)的定義域?qū)瘮?shù)最值的確定十分重要，解析時(shí)需要結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和定義域來確定最值點(diǎn).

3. 換元法

換元法也是求函數(shù)最值常用的方法，同樣可用于復(fù)合性函數(shù)，可有效降低思維難度. 該方法指的是在解析時(shí)通過引入一個或多個新的變量來替換原函數(shù)中的某些變量，從而簡化函數(shù). 解析函數(shù)最值問題，換元的方式有兩類，包括代數(shù)換元和三角換元，具體解題時(shí)可以根據(jù)函數(shù)形式來靈活選取.

例3：試求函數(shù)y=■的最大值.

解析：該問為涉及三角函數(shù)的最值問題，可以對函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形，采用換元的方法來簡化. 變形可得y=■=（sinx+1）+■，令1+sinx=t，則0

評析：上述函數(shù)復(fù)合了三角函數(shù)，顯然采用換元的方法更為有效，將問題轉(zhuǎn)化為了更為簡潔的函數(shù). 同時(shí)換元過程中重新確定了新函數(shù)的定義域，為后續(xù)的最值分析提供了條件，解析時(shí)需要關(guān)注定義域的變化.

■思考建議

函數(shù)最值屬于綜合性問題，在實(shí)際教學(xué)中需要注重教學(xué)重點(diǎn)，注意調(diào)動學(xué)生參與思考. 如課堂教學(xué)應(yīng)深入探究函數(shù)最值問題的根本，將解題步驟和方法作為教學(xué)重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生掌握不同問題的解析方法，提升學(xué)生解題思維的靈活性. 課堂教學(xué)中應(yīng)充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，尊重學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)其參與教學(xué)討論，主動思考問題. 同時(shí)教學(xué)中可適當(dāng)借助知識框圖，幫助學(xué)生梳理問題難點(diǎn)、知識脈絡(luò)、方法核心，用形象的聯(lián)想來構(gòu)建類型問題的解題策略.