數(shù)感分析：數(shù)學(xué)解題思路的分析方法*

蔣雙 趙思林

摘? ? 要：數(shù)感是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心成分.數(shù)感分析有利于發(fā)現(xiàn)解題的思路或結(jié)論.數(shù)感的產(chǎn)生依賴(lài)于豐富的經(jīng)驗(yàn)、敏銳的眼光、靈活的思維.因此，數(shù)學(xué)解題是培養(yǎng)數(shù)感的重要資源.

關(guān)鍵詞：數(shù)感;數(shù)感分析;高考試題;解題思路

數(shù)感是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的集中體現(xiàn).數(shù)感分析在解題思路發(fā)現(xiàn)過(guò)程中占有重要地位.數(shù)感是以“數(shù)概念”在人腦中的擴(kuò)展而產(chǎn)生的一種對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的敏感，是一種對(duì)數(shù)字（量）的直覺(jué)，是一種敏捷的感知[1].詹國(guó)棵[2]認(rèn)為：“狹義的‘?dāng)?shù)感是指‘?dāng)?shù)字感，它的含義是指人腦對(duì)于數(shù)字或數(shù)字運(yùn)算的直覺(jué)，即對(duì)于‘?dāng)?shù)字或數(shù)字運(yùn)算的洞察與領(lǐng)悟;廣義的‘?dāng)?shù)感是指對(duì)‘?dāng)?shù)學(xué)的感覺(jué)，即人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的直覺(jué)，亦即對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的洞察與領(lǐng)悟.”在這里，狹義的“數(shù)感”忽視了數(shù)學(xué)中除“數(shù)”之外的另一半——“形”.因?yàn)閿?shù)學(xué)的研究對(duì)象是“數(shù)”和“形”，所以只研究“數(shù)”的數(shù)學(xué)是不全面的.在初中，學(xué)生就知道“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”，即是說(shuō)，初中生都知道，數(shù)學(xué)包括“數(shù)”和“形”.所以廣義的“數(shù)感”更全面、更合理、更有用.數(shù)感可謂五味俱全，它含有“感覺(jué)”“直覺(jué)”“直感”“洞察”“經(jīng)驗(yàn)”“靈感”等多種成分.研究者認(rèn)為，數(shù)感是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象（問(wèn)題）的敏感（敏捷感覺(jué)），這里的數(shù)學(xué)對(duì)象可以是代數(shù)式（包括數(shù)字）、數(shù)學(xué)符號(hào)、圖形、數(shù)學(xué)關(guān)系（定理、公式、性質(zhì)等）、數(shù)學(xué)模型、問(wèn)題情境、“數(shù)”與“形”及其混合體等.數(shù)感分析是指從數(shù)感的角度探索數(shù)學(xué)問(wèn)題求解題思路的一種分析方法.數(shù)感分析高度依賴(lài)于原型、直觀、直覺(jué)、猜測(cè)、想象等數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).數(shù)感分析有利于發(fā)現(xiàn)解題的思路或結(jié)論.數(shù)感是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的精華成分.培養(yǎng)數(shù)感就是在培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)解題是培養(yǎng)數(shù)感的重要資源.

一、對(duì)特殊“數(shù)字”的敏感

例1? ?（新高考卷Ⅰ第2題）[2-i1+2i]=（? ?）.

A.[ 1] B .[-1] C. [i] D .[-i]

評(píng)析：本題出現(xiàn)在選擇題第2題，一般屬于容易題，可考慮借助于數(shù)感，通過(guò)心算簡(jiǎn)單獲解.

思路1：從選項(xiàng)獲數(shù)感，4個(gè)“答案”都簡(jiǎn)單，可采用逐一檢驗(yàn)的方法.顯然A、B不成立.對(duì)于C，只需計(jì)算[（1+2i）×i=i-2]，這與分子不相等，所以C錯(cuò).故選D.

思路2：從“化簡(jiǎn)‘分式的基本方法是‘約分”獲得數(shù)感，[2-i=-2i2-i=-i（2i+1）]，約分后即得答案[-i]，選D.

說(shuō)明：數(shù)感依賴(lài)于經(jīng)驗(yàn).若沒(méi)有觀察“答案”、化簡(jiǎn)“分式”的基本方法是“約分”等經(jīng)驗(yàn)，則上述兩種思路是不易想到的.

例2? ?（全國(guó)卷Ⅲ理第12題）已知55<84，134<85，設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（? ? ）.

A. a

評(píng)析：據(jù)了解，很多考生不明白給出的兩個(gè)條件55<84，134<85，到底有何意圖.其實(shí)，設(shè)計(jì)這兩個(gè)條件的意圖有三：一是為降低題目難度，或有提示解法之意;二是需要把指數(shù)不等式變成對(duì)數(shù)不等式，才便于利用對(duì)數(shù)這個(gè)工具;三是希望考生能從這兩個(gè)不等式的指數(shù)“感覺(jué)”到“[45]”（比較大小的“媒介”）的存在，這個(gè)“[45]”正是數(shù)感的產(chǎn)物.

二、對(duì)“數(shù)學(xué)模型”的敏感

例3? ?（全國(guó)卷Ⅰ理第5題）某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率[y]和溫度[x]（單位：[℃]）的關(guān)系，在[20]個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[（xi，yi）][（i=1，2，…，20）]得到下面的散點(diǎn)圖.

由此散點(diǎn)圖，在[10℃]至[40℃]之間，下面四個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為發(fā)芽率[y]和溫度[x]的回歸方程類(lèi)型的是（? ?）.

A.[ y=a+bx]? B.[ y=a+bx2]

C.[ y=a+bex]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.[ y=a+blnx]

評(píng)析：從散點(diǎn)圖可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)溫度達(dá)到[20℃]后其增長(zhǎng)速度是緩慢增長(zhǎng)，這恰好與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的模型比較吻合.再結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)，容易選D.

說(shuō)明：學(xué)生應(yīng)知道，4個(gè)“答案”的函數(shù)模型分別代表線性增長(zhǎng)、拋物增長(zhǎng)、爆炸增長(zhǎng)、緩慢增長(zhǎng).

例4? ?（全國(guó)卷Ⅱ理第11題）若2x-2y<3-x-3-y，則（? ?）.

A. ln（y-x+1）>0? ? B. ln（y-x+1）<0

C. ln[x-y>0]? ? ? ? ? ? ? ? ?D. ln[x-y<0]

評(píng)析：借用“合并同類(lèi)項(xiàng)”的經(jīng)驗(yàn)（式子感），把原不等式化為[2x-3-x<2y-3-y]，由此可構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)[f（x）=2x-3-x]，則有[f（x）1].故選A.

三、對(duì)“圖形”的敏感

例5? ?（全國(guó)卷Ⅰ理第14題）設(shè)[a，b]為單位向量，且[a+b=1]，則[a-b=]________.

評(píng)析：本題的條件有三個(gè)：[a=1]，[b=1]，[a+b=1].如果再把[a-b]考慮在內(nèi)，則本題共涉及4個(gè)模，即4個(gè)長(zhǎng)度（距離）.因此，從模的幾何意義考慮問(wèn)題是自然的、簡(jiǎn)單的想法.若把上述三個(gè)條件賦予幾何意義，則可以[a，b]為鄰邊作一個(gè)平行四邊形.再由三個(gè)條件易知，此平行四邊形必為菱形，且[a，b]的夾角為[120°].又[a-b]恰好是這個(gè)菱形的另外一條對(duì)角線，因此，[a-b=3].

若學(xué)生熟悉恒等式[a+b2+a-b2=2a2+2b2]，則此題可心算獲解.

例6? ?（全國(guó)卷Ⅰ理第11題）已知[⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0]，且直線[l：2x+y+2=0]，

[P]為[l]上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)[P]作[⊙M]的切線[PA]，[PB]，切點(diǎn)為[A]，[B]，當(dāng)[PA?PB]最小時(shí)，直線[AB]的方程為（? ?）.

A.[ 2x-y-1=0]? ? B.[ 2x+y-1=0]

C.[ 2x-y+1=0]? ? D.[ 2x+y+1=0]

評(píng)析：本題若直接著手于“算”的話(huà)，則不易找到思路，并且比較麻煩.但若對(duì)相應(yīng)的圖形的幾何意義產(chǎn)生數(shù)感，則問(wèn)題的解決思路會(huì)油然而生.

將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程[（x-1）2+（y-1）2=4]，得圓心M（1，1），

[r=AM=2].由面積法可得，

[S四邊形PAMB=AM?PA=2PM2-4].

[PM]取最小值[?][PM⊥l][?AB//l]，即可排除A和C.故選D.

四、對(duì)“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”的敏感

例7? ?（全國(guó)卷Ⅱ理第6題）數(shù)列[an]中，a1=2，am+n=aman，若[ak+1+ak+2+…+ak+10][=215-25]，則k=（? ?）.

A. 2? B. 3? C. 4? D. 5

評(píng)析：符號(hào)多是本題的一大特色，這也讓考生感到像“霧里看花”，并產(chǎn)生無(wú)從下手的感覺(jué).這正好體現(xiàn)本題考查學(xué)生的高級(jí)認(rèn)知（分析、猜測(cè)、洞察、演繹等）的真實(shí)意圖.由數(shù)據(jù)[215， 25]可強(qiáng)烈地感受到該數(shù)列可能含有等比數(shù)列的信息，這就是數(shù)感.遞推方程[am+n=][aman]是一個(gè)一般性的遞推關(guān)系，考生需要從這個(gè)關(guān)系中敏銳地發(fā)現(xiàn)并構(gòu)造出含通項(xiàng)[an]和它的后一項(xiàng)[an+1]的遞推關(guān)系，才有可能用到等比數(shù)列知識(shí).因此，采用特殊值法，取[m=1]，則[an+1=a1an].又因?yàn)閇a1=2]，所以[an+1an=2]，因此[an]是等比數(shù)列，則[an=2n].

所以[ak+1+ak+2+]…[+ak+10][=2k+1（210-1）]

[=2k+11-2k+1=215-25].故選C.

五、對(duì)“數(shù)學(xué)美”的敏感

“化丑為美”是數(shù)學(xué)解題的基本策略.解高考數(shù)學(xué)題要善于把丑的形式（結(jié)構(gòu)）化為美的形式（結(jié)構(gòu)）.

例8? ?（全國(guó)卷Ⅱ第21題）已知函數(shù)[f（x）=sin2xsin2x].

（1）討論[f（x）]在區(qū)間[0， π]的單調(diào)性;

（2）證明：[f（x）≤338];

（3）設(shè)[n∈N*]，證明：[sin2xsin22xsin24x…]

[sin22nx≤3n4n].

評(píng)析：第（1）題是常規(guī)題，其解析從略.

第（2）題因?yàn)楹瘮?shù)[f（x）]是奇函數(shù)，所以只需證明[f（x）]的最大值是[338].

因?yàn)樵赱f（x）=sin2xsin2x]中的次數(shù)不同、角度不同，因此該結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)的，但不是最美的.作降次變換得，[f（x）=sin2xsin2x=1-cos2x2?sin2x=14（2sin2x-sin4x）].

記[p（x）=2sin2x-sin4x]，此式右邊兩項(xiàng)的系數(shù)分別是[2， -1]，因此，[2sin2x-sin4x]的形式仍然是不美的（不對(duì)稱(chēng)）.但若先變形為[p（x）=sin2x+sin2x][+sin（2π-4x）];再作換元，即令[2x=A， 2x=B]，[2π-4x=C]，則[A+B+C=2π]，且[p（x）=sinA+][sinB][+sinC].此形式顯得簡(jiǎn)單了、美了.從而，可借助于以下結(jié)論求出[p（x）]的最大值.

結(jié)論：在[△ABC]中，[sinA+sinB+sinC]在[A=B=C=π3]時(shí)取得最大值.

這個(gè)結(jié)論的條件和結(jié)論都體現(xiàn)對(duì)稱(chēng)美和簡(jiǎn)單美.此結(jié)論在一些書(shū)籍上有，其發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程均可掌握[3].這個(gè)結(jié)論是產(chǎn)生數(shù)感的“原型”.

借助上述結(jié)論，其思路探索和解答就容易了.事實(shí)上，由[sint]在[0， π]上的上凸可得，

[p（x）=sinA+][sinB]+[sinC ][≤][ 3sinA+B+C3]

[=3sin2π3=332].

所以[f（x）=14p（x）≤338].以下從略.

第（3）題的證明，[sin2xsin22xsin24x…sin22nx]

[=（sin3xsin32xsin34x…sin32nx）23]

=[sinx ][（sin2xsin2x）·（sin22xsin4x）]…

[（sin22n-1xsin2nx）][sin22nx][23]

=[sinx·f（x）·f（2x）·f（2n-1x）]

·[sin22nx][23]

[≤f（x）?f（2x）…f（2n-1x）23].

下面反復(fù)用第（2）題的結(jié)論進(jìn)行放縮即可，從略.

重視數(shù)感的培養(yǎng)無(wú)疑是重要的和必要的.已有數(shù)感經(jīng)驗(yàn)是產(chǎn)生新數(shù)感的基礎(chǔ).數(shù)感的經(jīng)驗(yàn)源于對(duì)數(shù)感的實(shí)踐、反思與凝練.數(shù)感是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心成分，數(shù)感的產(chǎn)生依賴(lài)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成，即數(shù)感的產(chǎn)生依賴(lài)于豐富的經(jīng)驗(yàn)、敏銳的眼光、靈活的思維.數(shù)感的實(shí)質(zhì)就是能用數(shù)學(xué)眼光對(duì)情境（問(wèn)題）的快速審視并頓生感覺(jué).用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題，就是要“想看”“會(huì)看”“看思結(jié)合”，“看出來(lái)的感覺(jué)”即為數(shù)感.在新課教學(xué)中，數(shù)感的培養(yǎng)可以從知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程著手培養(yǎng).數(shù)學(xué)解題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的沃土，教師不宜讓學(xué)生急忙著手去算，而是應(yīng)先讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行仔細(xì)觀察、直覺(jué)分析、整體把握、思路預(yù)估等思維活動(dòng)，因?yàn)檫@可達(dá)到多角度、多層次培育數(shù)感的目的.

參考文獻(xiàn)：

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