一元二次方程討論根時忽視隱含條件的問題探討

柴玉宏

摘? ? 要：學(xué)生存在一元二次方程討論根時忽視隱含條件的情況.教師在教學(xué)中應(yīng)從題設(shè)所及的概念、關(guān)系式、定理等方面的具體特征入手，通過分析、比較、觀察和聯(lián)想等方法，挖掘和轉(zhuǎn)化題設(shè)中的隱含條件，從而提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和習(xí)慣.

關(guān)鍵詞：一元二次方程;根的判別式;韋達定理;隱含條件

一元二次方程是初中代數(shù)中的一個重要內(nèi)容，也是近幾年中考數(shù)學(xué)的一個熱門考點，特別是解含有字母系數(shù)的一元二次方程問題，是初三學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)，也是高中數(shù)學(xué)的參數(shù)思想在初中的初步滲透.在教學(xué)實踐中筆者發(fā)現(xiàn)，有時題目難度不大，但學(xué)生卻容易出錯，其中解題過程中忽視隱含條件是一個主要原因.在解含有字母系數(shù)的一元二次方程時，學(xué)生經(jīng)常容易忽視題設(shè)中的隱含條件，只考慮已經(jīng)給出的明顯條件，缺乏挖掘題目中隱含條件的能力，往往得出不滿足題意的結(jié)果，或者遺漏某些滿足題意的結(jié)果，從而導(dǎo)致解題錯誤.

挖掘題目中的隱含條件，需要有扎實的基礎(chǔ)知識、熟練的基本技能、靈活的思維能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}方法，根據(jù)筆者多年的教學(xué)實踐經(jīng)驗，本文通過列舉一些一元二次方程討論根時忽視隱含條件的易錯題為范例進行分析，從題設(shè)所及的數(shù)學(xué)概念、關(guān)系式、定理等方面的具體特征入手，通過分析、比較、觀察和聯(lián)想等方法，挖掘和轉(zhuǎn)化題設(shè)中的隱含條件，整理與歸納含有字母系數(shù)的一元二次方程平時容易出錯的幾類問題，提高解題能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和習(xí)慣，使易錯題變成易對題，力爭達到解題“會而必對，對而必全”的效果.

一、條件隱含在方程二次項的系數(shù)中

（一）方程[ax2+bx+c=0]有兩個實數(shù)根時要注意a≠0的情況

若方程[ax2+bx+c=0]有兩個實數(shù)根，則這個方程一定是一個一元二次方程，即a≠0.若a=0，這個方程就是一元一次方程，它只有一個實數(shù)根，不可能有兩個實數(shù)根，所以當(dāng)已知方程有兩個實數(shù)根時，要注意隱含的條件a≠0.

例1? ?當(dāng)m為何值時，方程[mx2-2（m+2）x+m+5=0]無實數(shù)根？對于這個m值的范圍方程[（m-5）x2-2（m+2）x+m=0]是否有兩個不相等的實數(shù)根？

錯解再現(xiàn)? ?∵方程[mx2-2（m+2）x+m+5=0]無實數(shù)根，∴[Δ]<0.

即[Δ]=[-2（m+2）2-4m（m+5）]<0，解得m>4.

由方程[（m-5）x2-2（m+2）x+m=0]，得[Δ1]=[-2（m+2）2-4（m-5）m]=36m+16.

當(dāng)m>4 時，有36m+16>0.

∴方程[（m-5）x2-2（m+2）x+m=0]有兩個不相等的實數(shù)根.

錯因解析? ?當(dāng)m=5時，同時能滿足m>4 與36m+16>0兩個條件，但是第二個方程[（m-5）x2-2（m+2）x+m=0]當(dāng)m=5時變成一元一次方程，不可能有兩個不相等實數(shù)根，所以有錯誤，忽視了第二個方程二次項系數(shù)不等于0這個隱含條件.同時也要考慮第一個方程二次項系數(shù)m≠0.

正確解法? ?∵方程[mx2-2（m+2）x+m+5=0]無實數(shù)根，∴[Δ]<0，m≠0.

即[Δ]=[-2（m+2）2-4m（m+5）]<0 ，m≠0，解得m>4.

由方程[（m-5）x2-2（m+2）x+m=0]，得[Δ1]=[-2（m+2）2-4（m-5）m]=36m+16.

當(dāng)m>4 ，且m≠5時，有 36m+16>0.

∴方程[（m-5）x2-2（m+2）x+m=0]有兩個不相等的實數(shù)根.

（二）方程[ax2+bx+c=0]有實數(shù)根時要注意a=0的情況

若方程[ax2+bx+c=0]有實數(shù)根，則可能有兩個或一個實數(shù)根兩種情況，即這個方程是一元二次方程或一元一次方程，所以要對二次項的系數(shù)進行分類討論，要注意隱含的條件a=0和a≠0.

例2? ?求證：關(guān)于x的方程[mx2-（m+2）x+1=0]必有實數(shù)根.

錯解再現(xiàn)? ? 由[Δ]=[-（m+2）2-4m=m2+4]，∵[m2]>0，∴[m2+4]>0，即[Δ]>0.

∴方程[mx2-（m+2）x+1=0]必有兩個不相等的實數(shù)根.

錯因解析? ?這個方程有實數(shù)根，但沒有說有兩個實數(shù)根，當(dāng)m=0時，原方程變成-2x+1=0， x=[12]也有實數(shù)根，所以證題過程不完整，只考慮二次項系數(shù)不等于0時方程有兩個實數(shù)根的情況，沒有考慮二次項系數(shù)m=0時方程是一元一次方程有實數(shù)根的情況.

正確解法? ?當(dāng)m≠0時，[Δ]=[-（m+2）2-4m=m2+4]，∵[m2]>0，∴[m2+4]>0.

即[Δ]>0，∴方程[mx2-（m+2）x+1=0]必有兩個不相等的實數(shù)根.

當(dāng)m=0時，-2x+1=0，x=[12].

∴關(guān)于x的方程[mx2-（m+2）x+1=0]必有實數(shù)根.

二、條件隱含在數(shù)學(xué)概念中

數(shù)學(xué)問題是用數(shù)學(xué)語言（包括文字、符號、圖形）來表述的，題目中所提供的數(shù)學(xué)概念本身就包含著隱含條件，這些隱含條件不依賴于題目本身而獨立存在，所以在理解題意的基礎(chǔ)上更要理解數(shù)學(xué)概念本身的意義，理解概念的內(nèi)涵和外延，注意概念成立的條件.若方程[ax2+bx+c=0]是一元二次方程，則隱含著a≠0，必有兩個實數(shù)根，或無實數(shù)根等條件.

例3? ?已知方程[（m-2）xm2-5m+8][+x+][5=0]，

當(dāng)m為何值時這個方程是一元二次方程？當(dāng)m為何值時這個方程是一元一次方程？

錯解再現(xiàn)? ?當(dāng)[m2-5m+8=2]，[m2-5m+6=0]，∴m=2或m=3時方程為一元二次方程.當(dāng)[m2-5m+8=1]，∵[Δ]<0，∴不存在m的值使這個方程是一元一次方程.

錯因解析? ?對于第一問來說，當(dāng)m=2時方程變?yōu)橐辉淮畏匠蹋詍=2應(yīng)舍去.對于第二問只考慮了[（m-2）xm2-5m+8]為一次項，得到m的值不存在，當(dāng)m=2時方程本身就變?yōu)橐辉淮畏匠蘹+5=0，遺漏了m=2.

正確解法? ?當(dāng)[m2-5m+8=2]且m≠2時方程是一元二次方程，即m=3時方程為一元二次方程.

當(dāng)[m2-5m+8=1]且m≠2，∵[Δ]<0，∴m不存在.

∴當(dāng)m=2時這個方程是一元一次方程.

三、條件隱含在根與系數(shù)的關(guān)系式中

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也叫韋達定理，課本中的敘述是：如果[x1，x2]是一元二次方程[ax2+bx+c=0]的兩個根，那么[x1+x2=-ba，x1?x2=ca].

韋達定理推導(dǎo)的前提是一元二次方程有兩個實數(shù)根，即一元二次方程首先要滿足[Δ]≥0，因此，在用韋達定理時，要注意隱含條件[Δ]≥0.

例4? ?已知[2x2+kx-2k+1=0]的兩個實數(shù)根是a，b，且滿足[a2+b2=294]，求k的值.

錯解再現(xiàn)? ?由根與系數(shù)的關(guān)系，得[a+b=-k2，ab=1-2k2].

∵[a2+b2=（a+b）2-2ab=-k22-2×1-2k2=14k2-1+2k=294]，

∴[k2+8k-33=0]，得k=-11或k=3.

錯因解析? ?∵方程[2x2+kx-2k+1=0]有兩個實數(shù)根，∴應(yīng)滿足[Δ]≥0這一隱含條件，即[k2-4×2（-2k+1）=k2+16k-8]≥0，當(dāng)k= -11時，[Δ]< 0.

正確解法? ?由根與系數(shù)的關(guān)系，得[a+b=-k2，ab=1-2k2].

∵[a2+b2=（a+b）2-2ab=-k22-2×]

[1-2k2=14k2-1+2k=294].

∴[k2+8k-33=0]，得k=-11或k=3.

又∵方程[2x2+kx-2k+1=0]有兩個實數(shù)根，∴[Δ]≥0.

即[k2-4×2（-2k+1）=k2+16k-8]≥0，當(dāng)k= -11時，[Δ]<0.

∴k=-11舍去，∴k= 3.

四、條件隱含在題設(shè)的關(guān)系式中

隱含條件隱含在題設(shè)的某一個條件中，往往這個條件和解題需要的這個隱含條件是等價的，找到還相對容易一些，但有些隱含條件不是隱含在某一個條件中，而是深藏在題設(shè)幾個條件之間的關(guān)系中，要求仔細(xì)分析題意，清楚各條件之間的內(nèi)在關(guān)系，需要一定的“霧里看花”能力，盡快得到解題所需的隱含條件.

例5? ?已知x，y為實數(shù)，方程[x2+2x-5=0， y2+2y-5=0]，求[1x+1y]的值.

錯解再現(xiàn)? ∵[x2+2x-5=0，y2+2y-5=0]，

∴x，y是一元二次方程[z2+2z-5=0]的兩個實數(shù)根.

由韋達定理得x+y=-2，xy=-5，∴[1x+1y]=[x+yxy=25].

錯因解析? ?∵兩個方程[x2+2x-5=0，][ y2+]

[2y-5=0]的判別式[Δ]=[22-4×1×（-5）=24]>0，只有在x≠y時，x，y才是一元二次方程[z2+2z-5=0]的兩個實數(shù)根，由韋達定理得x+y=-2，xy=-5，∴[1x+1y]=[x+yxy=25].

還有一種情況是當(dāng)x=y時，[x=y=-2±242=-1±6]，

∴[1x+1y=2x=2-1±6=25（1±][6）]，

忽視了x=y這個隱含條件.

正確解法? ∵每個方程[x2+2x-5=0， y2+2y-5=0]的判別式[Δ]=[22-4×1×（-5）=24]>0，只有在x≠y時，x，y才是一元二次方程[z2+2z-5=0]的兩個實數(shù)根，由韋達定理得x+y=-2，xy=-5，∴[1x+1y]=[x+yxy=25].

當(dāng)x=y時，[x=y=-2±242=-1±6]，

∴[1x+1y=2x=2-1±6=25（1±6）]，

∴[1x+1y]的值分別是：[25]，[25（1+6）]，

[25（1-6）].

五、條件隱含在解題過程中

一元二次方程討論根時，除了條件隱含在題中的概念、公式、定理應(yīng)用、已知條件的關(guān)系式中，還有些隱含條件是產(chǎn)生在解題過程中，要發(fā)現(xiàn)這些有用的隱含條件，需要更強的“火眼金睛”來及時捕捉.

（一）求方程根的算術(shù)平方根時要注意兩根的符號

如果[x1，x2]是一元二次方程[ax2+bx+c=0]的兩個根，那么[x1+x2=-ba， x1?x2=ca]，由a，b，c的符號可以判斷隱含條件兩根的正負(fù).

例6? ?若α，β是一元二次方程[2x2+3x+1=0]的兩根，求[αβ+βα]的值.

錯解再現(xiàn)? ?由韋達定理得[α+β=-32，]

[αβ=12].

∴[αβ+βα]=[αββ2+αβα2=αββ+αβα]=[αβ（1α+1β）=αβαβ（α+β）]=[-3212=-322].

錯因解析? ?從解題的過程來看，似乎沒有問題，但這個答案顯然是錯誤的，因為對于任意兩個實數(shù)α，β，[αβ+βα]的值一定是大于0的，為什么答案會出現(xiàn)負(fù)數(shù)？因為解題過程中忽視了隱含條件α<0，β<0，而這個條件是在解題過程中由[α+β=-32，αβ=12]產(chǎn)生的，因為兩個數(shù)和為負(fù)，積為正，則這兩個數(shù)同為負(fù)數(shù)，不可能有α>0，β>0這種情況.

正確解法? ?由韋達定理得[α+β=-32，]

[αβ=12]，

∵兩實數(shù)α，β和為負(fù)數(shù)，積為正數(shù)，∴α<0， β<0.

∴[αβ+βα]=[αββ2+αβα2=αβ-β+αβ-α]=[ -αβ（1α+1β）= -αβαβ（α+β）]=- [-3212=322].

（二）代數(shù)式求值時要注意相關(guān)方程存在實數(shù)根

當(dāng)x為實數(shù)，代數(shù)式[ax2+bx]的值等于c的隱含條件是關(guān)于[x]的一元二次方程[ax2+bx=c]有兩個實數(shù)根.

例7? ?已知實數(shù)[x]，滿足[（x2+2x）2+2x2+4x=15]，求代數(shù)式[x2+2x]的值.

錯解再現(xiàn)? ?∵[（x2+2x）2][ +2（x2+2x）] -15=0，

分解因式得[（x2+2x+5）][（x2+2x-3）][=0].

∴[x2+2x=-5]或[x2+2x=3].

錯因解析? ?當(dāng)[x2+2x=-5]時，一元二次方程[x2+2x+5=0]無實數(shù)根，所以[x2+2x=-5]不存在.

正確解法? ?由[（x2+2x）2+2（x2+2x）-15]

[=0]，

分解因式得[（x2+2x+5）（x2+2x-3）=0].

∴[x2+2x=-5]或[x2+2x=3].

當(dāng)[x2+2x=-5]時，一元二次方程[x2+2x+5=0]無實數(shù)根，[x2+2x=-5]不存在.

∴[x2+2x=3].

（三）一元二次方程的根要注意它的實際意義

在解一元二次方程的應(yīng)用題時，求出的根除了滿足方程的要求外，還要符合實際意義，即注意根的適用范圍、非負(fù)性、取整性等，要注意隱含條件，舍去不合題意的根.

例8? ?在Rt△ABC中，∠C=[90°]，斜邊c=5，兩直角邊的長a，b是一元二次方程[x2-mx+2m-2=0]的兩根，求m的值.

錯解再現(xiàn)? ?在Rt△ABC中，

∵∠C=[90°]，∴[a2+b2=c2].

∵[a2+b2=25]，∴[（a+b）2-2ab=25.]又∵a+b=m，ab=2m-2，

∴[m2-4m-21=0].

∴[m1=7， m2=-3].

當(dāng)[m1=7，m2=-3]時，都滿足[Δ]>0，∴m=7或m=-3.

錯因解析? ?∵a，b是直角三角形的兩邊，m的值只能取正數(shù)，應(yīng)舍去負(fù)數(shù).

正確解法? ?在Rt△ABC中，

∵∠C=[90°]，∴[a2+b2=c2].

∵[a2+b2=25]，∴[（a+b）2-2ab=25].

又∵a+b=m，ab=2m-2.

∴[m2-4m-21=0]，∴[m1=7， m2=-3].

當(dāng)[m1=7， m2=-3]時，都滿足[Δ]>0，

∵a，b是直角三角形的兩邊，m的值只能取正數(shù)，m=-3應(yīng)舍去，∴m=7.

總之，通過以上列舉的幾道典型例題的分析可以看出，隱含條件對解題的影響極大，它既干擾解題的思路，造成解題結(jié)果錯誤或答案遺漏，又有解題的暗示作用，在解題時若能及時發(fā)現(xiàn)最有價值的隱含條件，問題就會迎刃而解.因此，在解題中要養(yǎng)成認(rèn)真審題、周密思考、思路嚴(yán)謹(jǐn)、過程完整的良好習(xí)慣，善于捕捉題設(shè)中的“蛛絲馬跡”，多角度、多方向、多層次地挖掘隱含條件，解題才能達到“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的效果.