整體視角下的主題式復(fù)習(xí)操作路徑

應(yīng)佳成

摘? ? 要：整體視角下的主題式復(fù)習(xí)基于數(shù)學(xué)的整體性和系統(tǒng)性，以思想方法為統(tǒng)領(lǐng)，以能夠產(chǎn)生實質(zhì)性關(guān)聯(lián)的內(nèi)容為主題，打破單元限制進(jìn)行一以貫之的復(fù)習(xí).教學(xué)中教師可以沿著“雙基評估、四基落實、能力提升”的基本路徑展開，以發(fā)展學(xué)生運算能力、推理能力和抽象能力等關(guān)鍵能力為目的，開展主題式復(fù)習(xí)，指向素養(yǎng)發(fā)展.

關(guān)鍵詞：整體;主題式復(fù)習(xí);乘法公式;知識鏈

復(fù)習(xí)的教育價值在于建立內(nèi)容之間的聯(lián)系，聚零為整，完善知識體系，提升思想方法，落實核心素養(yǎng).從數(shù)學(xué)內(nèi)部來看，同一主題下的內(nèi)容往往能夠產(chǎn)生實質(zhì)性聯(lián)系：“數(shù)學(xué)內(nèi)容盡管多樣，但在本質(zhì)上是一個整體，不同知識之間，不同主題、單元之間都存在實質(zhì)性聯(lián)系.”由于新課階段是以分解的、局部的方式學(xué)習(xí)和認(rèn)識新知識，難以獲得對學(xué)習(xí)對象的整體全面認(rèn)識，因而主題式復(fù)習(xí)直指弊端，基于數(shù)學(xué)的整體性和系統(tǒng)性，以思想方法為統(tǒng)領(lǐng)，以能夠產(chǎn)生實質(zhì)性關(guān)聯(lián)的內(nèi)容為主題，打破單元限制進(jìn)行一以貫之的復(fù)習(xí)，目標(biāo)指向?qū)W生的素養(yǎng)發(fā)展.

主題式復(fù)習(xí)如何開展實施呢？本文以“乘法公式知識鏈的復(fù)習(xí)”為樣例，從雙基評估（喚醒）、四基落實（融合）、能力提升（升華）三個層次展開具體研究.

一、測評辨析? ?回顧知識內(nèi)容

本階段通過解決結(jié)構(gòu)相似、操作步驟一致的問題回顧乘法公式知識鏈，理解知識鏈上每一環(huán)之間的關(guān)聯(lián).

（一）分級前測? ?評估雙基

由于主題式復(fù)習(xí)橫跨初中三年的內(nèi)容，因此需要“喚醒”基礎(chǔ)知識，同時對基礎(chǔ)知識和基本技能做出水平評估，“前測”是重要的喚醒手段.知識的獲取是一個新知識與學(xué)習(xí)者已有的舊知識結(jié)構(gòu)相互影響的整合過程，基于“前測中困惑的問題形成的個體經(jīng)驗會影響個體知覺和注意，形成對學(xué)習(xí)材料的問題解決信息加工的傾向和偏好，這使得個體不僅喚起與問題相關(guān)的行之有效的信息，而且也能主動地對新知識進(jìn)行選擇性注意”原理，確定分層前測，精準(zhǔn)發(fā)現(xiàn)不同層面的學(xué)生在雙基上存在的漏洞，并及時做出合理有效的干預(yù)，為后續(xù)調(diào)整教學(xué)策略做好準(zhǔn)備，讓不同水平的學(xué)生在自己的能力發(fā)展區(qū)內(nèi)得到最大限度的發(fā)展.

（二）分析本質(zhì)? ?建立關(guān)聯(lián)

只有深刻理解公式本質(zhì)，才能在不同公式間進(jìn)行主動對比，當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生變化的時候能夠調(diào)取已有知識經(jīng)驗，從源頭上思考問題的解決方法.要讓學(xué)生明確，乘法公式源于多項式乘法運算，其原理是運用分配律逐項相乘再相加，有一些具有特殊結(jié)構(gòu)的多項式相乘之后能夠產(chǎn)生同類項，因而產(chǎn)生了具有特殊結(jié)構(gòu)的結(jié)果，通常意義上的乘法公式就是這些具有特殊結(jié)構(gòu)的多項式相乘的結(jié)果.

公式（x+y）（x-y）=x2-y2（平方差公式）和（x+y）2=x2+2xy+y2（完全平方公式）都是（a+p）（b+q）=ab+aq+pb+pq的特殊情形，若a=b=x，p=-q=y，則產(chǎn)生平方差公式（x+y）（x-y）=x2-y2;若a=b=x，p=q=y，則產(chǎn)生完全平方公式（x+y）2=x2+2xy+y2，詳見圖1.

使用了這些特殊的代數(shù)結(jié)構(gòu)，可以越過程序性的展開過程直接得出結(jié)果，這種思維有助于發(fā)現(xiàn)概括規(guī)律，體驗從一般到特殊的研究問題方式，為其他問題的研究提供類比和借鑒.對公式結(jié)構(gòu)的熟練程度決定了學(xué)生能力提升的高度.事實上，公式結(jié)構(gòu)不僅僅表示運算的結(jié)果，運算過程也有跡可循，并且結(jié)構(gòu)特征清晰，易于依據(jù)規(guī)律識記.為了熟練使用公式，做到對公式結(jié)構(gòu)了如指掌，可以設(shè)置這樣的題組：

① （a+2b）2+（b+a） （b-a）;

②[（a+b）2-（a-b）2]·a;

③（a2+b2）（a2-b2）;

④（3a+2b-1）（3a-2b+1）;

⑤（[a]+[b]）（[a]-[b]）;

⑥[13-2]+[13+2].

這些問題都是直接使用公式的基本原理在運算，步驟完全一致，所蘊含的一般觀念是重點，讓學(xué)生明白公式的使用不局限于用a，b表示單獨的數(shù)或字母，可以推廣到一般意義的多項式、根式等，其意義在于將這些特定的結(jié)構(gòu)作為更為一般性的結(jié)論，加深學(xué)生對知識之間關(guān)聯(lián)性的理解程度，提高概括能力.

二、融合重整? ?構(gòu)建知識系統(tǒng)

本階段的落實決定了主題式復(fù)習(xí)的成敗.這一階段需要利用包容水平更高的學(xué)習(xí)材料，揭示乘法公式知識鏈上內(nèi)容間的實質(zhì)性關(guān)系，增強(qiáng)似是而非的知識間的可辨度，把低位經(jīng)驗概括歸納到高位結(jié)構(gòu)中，為能力的提升提供穩(wěn)定的固著點.

（一）豐富背景? ?識別結(jié)構(gòu)

由于乘法公式是恒等式，因此可以在整式乘法和因式分解之間靈活切換問題情境，因式分解的過程是將多項式形式變形為因式相乘的形式，這是逆向思維的過程，需要理解公式、熟知公式的結(jié)構(gòu)特征，對公式的多項式形式有透徹理解，對能力要求更高.因式分解在各種知識背景下都有涉及，本質(zhì)就是對乘法公式結(jié)構(gòu)的識別和使用.比如：

①分解因式：（a+b）2+2a+2b-3;

②分式化簡：[a2-2ab+b2a2-b2];

③二次根式化簡：[12-1];

④解一元二次方程：x2-2x+1=0;

⑤求關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+2a （a+2）x+a2+4a+4的圖象與x軸的交點坐標(biāo);

⑥已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且a=7，b=24，c=25，判斷△ABC的形狀;

……

這一組問題顯示了乘法公式的廣泛使用：涵蓋分解因式、分式運算、二次根式運算、解方程、二次函數(shù)、幾何計算等內(nèi)容，通過這樣大量的、豐富的問題情境轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生理解公式結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)知識的可辨度，構(gòu)建運算思路.比如題⑤，解決通法是借助函數(shù)與方程的關(guān)系，將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用求根公式解決問題，但是此法明顯不夠簡潔，如果熟悉完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，則可快速分解因式得到y(tǒng)=ax2+2a（a+2）x+（a+2）2=（ax+a+2）2，直接將這個二次函數(shù)從一般形式分解成為頂點式，從而發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（-a-2， 0）.再如題⑥，如果直接使用72+242=252，則過程繁雜易出錯，如果遇到更為復(fù)雜的數(shù)據(jù)顯然不是最佳做法，但是使用平方差公式可以使問題運算大大簡化，找出題目中最大的一個數(shù)為c =25，則c 2-b 2=（25+24）（25-24）=49×1=72=a2，因此△ABC是直角三角形.