構(gòu)造基本不等式模型，探求函數(shù)最值求解技法*

江蘇省西亭高級中學(xué) (226300) 瞿春波江蘇省南通市通州區(qū)教師發(fā)展中心 (226300) 瞿國華

利用基本不等式(以下簡稱為“公式”)求函數(shù)最值時，變形是基礎(chǔ)，恰到好處的變形是關(guān)鍵.本文就如何構(gòu)造“公式”模型，談?wù)劰P者的一些想法，不當(dāng)之處，敬請批評指正.

1.轉(zhuǎn)化符號

若含變量的項是負(fù)數(shù)，則提取負(fù)號，將其轉(zhuǎn)化為正數(shù)[1]，再利用“公式”求最值．

2.配湊定值

將目標(biāo)函數(shù)恒等變形或適當(dāng)放縮，配湊出兩個式子的和或積為定值.

3.驗證等號

使用“公式”時，必須檢驗等號能否成立，否則無法求得最值；若是多次使用“公式”時，則要注意多個取等條件是否同時成立．

4.常量代換

若已知條件中的“1”(常量可化為“1”)與目標(biāo)函數(shù)之間具有某種關(guān)系(尤其是整式與分式相乘模型)，則實施“1”代換，配湊和或積為常數(shù).

例4 (2019南京高三期末)若正實數(shù)a,b,c滿足ab=a+2b,abc=a+2b+c，則c的最大值為．

5.代入消元

對已知條件作適當(dāng)變形，將某個變量用其余的變量線性表示，代入目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)造和或積為定值，從而求得最值.

6.整體換元

通過設(shè)置主動臨時橫撐可以有效減小由于采用塔梁異步施工工藝引起的塔柱根部拉應(yīng)力，確保塔柱施工質(zhì)量，從而實現(xiàn)安全、質(zhì)量、進(jìn)度兼顧。該工藝在九江長江公路大橋的成功實施，拓展了索塔橫梁的施工方法，具有較高的推廣價值。

若已知(或待求)因式之間具有某種關(guān)系，則引入一個或幾個新的變量，替換掉原先某些因式，構(gòu)造和或積為常數(shù).常見的換元方法有比(倍)值換元、差值(增量)換元[2]、單換元、雙換元等.

7.轉(zhuǎn)化為不等式

若已知“和與積”的等式關(guān)系，求“和與積”的最值，則利用“公式”轉(zhuǎn)化為解不等式.

8.乘方

若目標(biāo)函數(shù)帶有根號，則先乘方后配湊為和為定值[1]．

9.拆(添)項

將已知條件中某些項拆(添)成多項之和或多個因式之積，使得它們的和或積為常數(shù)[1]．

10.引入?yún)?shù)[1]

若對系數(shù)配湊難以下手時，則引入?yún)?shù)，利用待定系數(shù)法建立系數(shù)之間的比列關(guān)系或微調(diào)至“各數(shù)”相等.

11.齊次化

將目標(biāo)式變形為齊次分式(分子分母各項次數(shù)相同)，通過換元或分離等手段得到和或積為定值.

12.確定主次元

若多元問題中變量較多時，則優(yōu)先確定主次元，然后消去次元，從而轉(zhuǎn)化為主元條件下利用“公式”求解目標(biāo)函數(shù)最值.

總之，當(dāng)遇到無法直接使用“公式”求最值時，可以通過構(gòu)造、變形，轉(zhuǎn)化為“公式”模型.解題時，不應(yīng)局限于某一種“變換”，應(yīng)多種技法交互，多樣思維融合，這就需要我們因題而異，靈活變通，深挖題目的隱含條件、細(xì)心觀察目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征[2]，從而找到最優(yōu)解法.