“兩邊夾”在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

浙江省杭州第十四中學(xué)鳳起校區(qū) (郵編：310006)

“兩邊夾定理”源于大學(xué)數(shù)學(xué)分析中求數(shù)列或函數(shù)的極限，但其思想方法在初等數(shù)學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用，本文將從代數(shù)和幾何兩方面來(lái)談?wù)劇皟蛇厞A”在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

1 “兩邊夾”在代數(shù)方面的應(yīng)用

1.1 任意實(shí)數(shù)都夾在兩個(gè)相鄰整數(shù)之間

分析從題目中給出的定義可知，可令{x}=m,m∈Z,則m-1

1.2 實(shí)現(xiàn)等式向不等式的轉(zhuǎn)化

引理a=m?m≤a≤m?(a-m)(m-a)≥0.

從上述原理，可知等式的問(wèn)題，借助“兩邊夾”原理用不等式來(lái)等價(jià)轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)等與不等的辯證統(tǒng)一.

例2 (2012年浙江高考理科數(shù)學(xué)試題)設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,則a=______.

分析a為一個(gè)實(shí)數(shù)，是等式問(wèn)題，可設(shè)a=m,借助“兩邊夾”用不等式來(lái)刻畫.于是已知不等式可視為關(guān)于a的一元二次不等式，且由引理可知兩因式a-m,m-a互為相反數(shù)，即(a-1)x-1與x2-ax-1互為相反數(shù)，于是本題可得如下簡(jiǎn)便解法.

解已知不等式等價(jià)于[ax-(x+1)][(x2-1)-ax]≥0,于是只需令

[ax-(x+1)]+[(x2-1)-ax]=0,即x2-1-(x+1)=0,從而x2-x-2=0,故x=2或-1,注意到x>0,所以x=2.將x=2帶入已知不等式可得(2a-3)(3-2a)≥0,

例3 設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),f(1)=0,且1≤x≤3時(shí)，f(x)≤0恒成立，f(x)是區(qū)間[2,+∞)上的增函數(shù)，求函數(shù)f(x)的解析式.

分析從題目結(jié)果來(lái)看，b、c是具體的常數(shù)，而從已知條件來(lái)看，b、c只能通過(guò)不等式來(lái)限定，所以必定是通過(guò)“兩邊夾”來(lái)求出實(shí)數(shù)b、c.

解由f(1)=b+c+1=0可得b=-c-1，

又因?yàn)?≤x≤3時(shí)，f(x)≤0恒成立，所以f(3)=9+3b+c≤0，

故9+c-3(c+1)≤0,即c≥3,

所以c≤3，故3≤c≤3,所以c=3，b=-4,f(x)=x2-4x+3.

2 在幾何方面的應(yīng)用

例4 (2012年浙江高考理科數(shù)學(xué)試題)設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,則a=______.

分析條件可化為[ax-(x+1)][(x2-1)-ax]≥0,可考慮三個(gè)函數(shù)y=ax,y=x+1,y=x2-1的圖象的位置關(guān)系.

解[ax-(x+1)][(x2-1)-ax]≥0?[ax-(x+1)][ax-(x2-1)]≤0,即

圖1

圖2

圖3

記A(5,2),B(4,-2),C(4,2),D(5,-2),則當(dāng)線段為AB時(shí)，kAB=4,AB直線方程為y=4t-18,6a+b=f(6)≤4×6-18=6,(6a+b)max=6；

當(dāng)線段為CD時(shí)，kCD=-4,CD直線方程為y=-4t+18,

6a+b=f(6)≥-4×6+18=-6,故本題還可求出6a+b的取值范圍是[-6,6]

圖4

分析去掉絕對(duì)值，可知為“兩邊夾”類型.

圖5

證法一|x2-kx-m|≤1?|(kx+m)-x2|≤1?-1≤kx+m-x2≤1?x2-1≤kx+m≤x2+1,于是想到形上的兩邊夾.分別畫出y=x2-1,y=x2+1,y=kx+m的圖象，且y=kx+m夾在y=x2-1,y=x2+1兩個(gè)圖象之間，屬于“夾縫”類型，如圖5.

圖6

證法二由|x2-kx-m|≤1,可得-1≤x2-kx-m≤1，這說(shuō)明二次函數(shù)y=x2-kx-m夾在兩直線y=-1和y=1之間，且y=x2-kx-m的開口大小固定，形狀固定，欲使b-a最大，則y=-1必與y=x2-kx-m相切或在其下方(如圖6)，這時(shí)由x2-kx-m=-1有x2-kx-m+1=0,

△=k2-4(-m+1)=k2+4m-4≤0,故k2+4m≤4.

另一方面，由y=x2-kx-m和y=1聯(lián)立得x2-kx-(m+1)=0,

(1)當(dāng)a=-3時(shí)，寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(不要求證明)；

(2)若對(duì)于任意的x∈[0,2]∩D，均有f(x)≥kx2成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析對(duì)于(2)，可考慮去掉平方，轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)夾在兩個(gè)熟悉的函數(shù)之間，使用“兩邊夾”畫圖處理，這樣更簡(jiǎn)潔直觀.

解(1)略；(2)當(dāng)k≤0時(shí)，顯然成立；

圖7

從上面的例題分析及解答可看出，“兩邊夾”在代數(shù)和幾何兩方面都有著廣泛的應(yīng)用.

從代數(shù)上看，它可實(shí)現(xiàn)等式向不等式的轉(zhuǎn)化，豐富了我們的解題思路，擴(kuò)充我們的視野；從幾何上看，很多問(wèn)題，先通過(guò)代數(shù)變形，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的函數(shù)，然后通過(guò)畫圖，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的幾何背景(可能是“夾緊”類型，也可能是“夾縫”類型)，這樣解題將非常直觀，大大降低問(wèn)題的難度，提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的幾何之美，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).