錯(cuò)在哪里

北京豐臺(tái)二中

甘志國(guó) (郵編：100071)

題目(2017年高考浙江卷第15題)已知向量a、b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是，最大值是.

解由題設(shè)，可得

由|a+b|≥0,|a-b|≥0知，可設(shè)

解答錯(cuò)了！錯(cuò)在哪里？

也就是說，用上述方法難以求出|a+b|+|a-b|的最小值.

下面再給出本題的五種解法.

圖1

A是半徑為1的圓⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)造兩個(gè)全等的AOBD及ECOA,可得|a+b|+|a-b|=|AB|+|AC|.

所以

(|a+b|+|a-b|)2=[|(1+2cosθ,2sinθ)|+|(1-2cosθ,-2sinθ)|]2

再由cos2θ∈[0,1],可得答案.

類題已知向量a、b滿足|a|=1,|b|=2,則2|a+b|+|a-b|的最小值是，最大值是.

=5(|a|2+|b|2)+6|a||b|cosθ+

(θ是向量a、b的夾角)

可設(shè)t=4cosθ(-4≤t≤4),得

令f′(t)=0,可得t=3.再由f(-4)=25,f(3)=50,f(4)=49,可得f(t)min=25,f(t)max=50,所以

(2|a+b|+|a-b|)min=5,

所以

接下來，同解法1.

(2|a+b|+|a-b|)2=[2|(1+2cosθ,2sinθ)|+|(1-2cosθ,-2sinθ)|]2

接下來，同解法2.

2合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

趙玉華(郵編：230601)

高等教育出版社《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》(俗稱盛驟版)第一章習(xí)題第24題如下：

有兩箱同類的零件，第一箱裝50只，其中10只一等品，第二箱30只，其中18只一等品.今從兩箱中任意挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣.求：

(1)第一次取到的零件是一等品的概率；

(2)在第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率.

配套的習(xí)題全解指南上給出的解答：

解答錯(cuò)了！錯(cuò)在哪里？

第(2)個(gè)問題，明顯是分類討論問題，而并不是用逆概公式的思路.這個(gè)問題中，事件A1和A2的含義各有兩層：分別表示取第一箱和第二箱情況下的第一次取件和第二次取件.這樣沒有區(qū)分的事件A1和A2之間能有先后的順序關(guān)系么？顯然沒有！取第一箱的事件A1不可能導(dǎo)致取第二箱的A2這個(gè)結(jié)果.而在解答中卻把這兩種意思揉和在了一起，首先對(duì)所求問題的表述就不對(duì)了；接著又不加以區(qū)分地運(yùn)用條件概率定義和乘法原理，更是錯(cuò)上加錯(cuò)！所以只能按取到第一箱還是第二箱來分類，討論對(duì)應(yīng)的A1和A2.

正確解法如下：

P(A2|A1)=P(H)P(A2|A1H)

從中學(xué)生的視角，這個(gè)問題運(yùn)用加法原理和乘法原理進(jìn)行分類再分步，其實(shí)很容易解決.但是給大學(xué)生從高等數(shù)學(xué)的角度，特別是死板地套用貝葉斯(逆概)公式，反而做了錯(cuò)誤分析.這種錯(cuò)誤解法流行在許多高等數(shù)學(xué)教材和習(xí)題冊(cè)中，需要引起重視.這也啟發(fā)了我們的數(shù)學(xué)教學(xué)：引導(dǎo)學(xué)生在做題時(shí)對(duì)公式的產(chǎn)生背景和使用范圍思考，而不是看到問題的表面相似就去機(jī)械地湊、套公式，這樣必然會(huì)出現(xiàn)荒謬的結(jié)果.