一個(gè)不定方程的全部整數(shù)解

中國礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測繪學(xué)院 (郵編：221116)

江蘇省海安雙樓初級中學(xué) 薛鎖英 (郵編：226671)

文[1]編入一道北歐數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題，求所有的整數(shù)組(x,y,z),滿足三元三次不定方程x3+y3+z3-3xyz=2003；文[2-5]更進(jìn)一步探討了此方程的一般形式

x3+y3+z3-3xyz=d

①

現(xiàn)在，將方程①推廣為四元三次的形式

w3+x3+y3+z3-3xyz-3wyz-3wxz-3wxy=d

②

其中d∈Z,d≠0；當(dāng)w=0時(shí)，方程②退化為方程①；且得到

③

方程②滿足w≤x≤y≤z的全部整數(shù)解包含于下列三個(gè)情形之中：

④

⑤

(3)若a為偶數(shù)，則w、x、y、z同時(shí)表為式④和式⑤.

證明方程②可變?yōu)?/p>

(w+x+y+z)(w2+x2+y2+z2-wx-wy-wz-xy-xz-yz)=d

⑥

令

w+x+y+z=a

⑦

|-w+x+y-z|=p

⑧

-w+x-y+z=q

⑨

-w-x+y+z=r

⑩

則a、p、q、r∈Z,0≤p；因w≤x≤y≤z,由式⑦、式⑧、式⑨及式⑩，易證0≤p≤q≤r；又因d≠0,由式⑥，知a≠0,a|d.

則式⑥變?yōu)?/p>

a[-a2+3(p2+q2+r2)]=8d

○11

因a3-a=(a-1)a(a+1)為三個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積，易知a3-a≡0(mod3),即

a3≡a(mod3)；由式○11，可得8d+a3=3a(p2+q2+r2)≡0(mod3)?

8d+a3≡-d+a3≡-d+a≡0(mod3)?a≡d(mod3).

聯(lián)立式⑦、式⑧、式⑨及式⑩為線性方程組，并分為以下兩種情形討論：

○ⅰ若-w+x+y-z≥0,即-w+x+y-z=p時(shí)，線性方程組的解可表為式④.

○ⅱ若-w+x+y-z<0,即-w+x+y-z=-p時(shí)，線性方程組的解可表為式⑤.

注意到式④和式⑤均不是整系數(shù)，對于滿足式③的任意一組(a,p,q,r)代入式④和式⑤中，可否確定地得到w、x、y、z的整數(shù)解，將分為以下兩種情形做進(jìn)一步討論：

I. 若a為奇數(shù)

II.若a為偶數(shù)

p2+q2+r2≡0(mod4),則p、q、r均為偶數(shù)，再分為以下兩種情形討論：

定理1成立.

例求方程w3+x3+y3+z3-3xyz-3wyz-3wxz-3wxy=20滿足w≤x≤y≤z的全部整數(shù)解.

解由定理1，設(shè)a、p、q、r∈Z,0≤p≤q≤r,d=20,滿足

○12

其中a|20,a≡20≡-1(mod3),則a=-1,2,-4,5,-10,20；又因

綜上，僅需討論a=5或20時(shí)的情形：

○ⅰ 當(dāng)a=5時(shí)，由式○12得(a,p,q,r)=(5,1,3,3)；因a為奇數(shù)，且a+p+q+r=12≡0(mod4),則可將a、p、q、r的值代入式⑤，得(w,x,y,z)=(0,1,1,3).

○ⅱ 當(dāng)a=20時(shí)，由式○12 得(a,p,q,r)=(20,0,6,10)或(20,6,6,8)；因a為偶數(shù)，則可將a,p,q,r的值分別代入式④和式⑤，得(w,x,y,z)=(1,4,6,9),(0,6,7,7)以及(3,3,4,10).

所求方程滿足w≤x≤y≤z的全部整數(shù)解共有以上四組.

定理2 不定方程

w3+x3+y3+z3-3xyz-3wyz-3wxz-3wxy=0

○13

的全部整數(shù)解包含于下列兩個(gè)情形之中：

①w+x+y+z=0；

②Dw=(α+β+γ)2，Dx=3α2+(β-γ)2，Dy=3β2+(γ-α)2，Dz=3γ2+(α-β)2；其中D,α、β、γ∈Z,D≠0.

證明：略.