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    2019年上海交通大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題(部分)及其詳解

    2019-12-19 02:43:58甘志國
    數(shù)理化解題研究 2019年34期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)試題題設(shè)半軸

    甘志國

    (北京市豐臺(tái)二中 100071)

    2019年上海交通大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題涉及集合、命題、函數(shù)、解三角形、平面向量、數(shù)列、不等式、立體幾何、平面解析幾何、二項(xiàng)式定理、復(fù)數(shù)與平面幾何等內(nèi)容,難度適中.文章還給出了部分試題的出處.

    本文中的題目是筆者綜合多位考生的回憶得到的,題目不全.解答由筆者獨(dú)立完成.

    A. -5 B. -3 C. 3

    D. 隨a,b取不同值而取不同值

    4.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,且z2-2az+a2-a=0,求負(fù)數(shù)a的值.

    5.若關(guān)于x的方程x3-3x2+(m+2)x-m=0的三個(gè)根是某個(gè)三角形的三邊長,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

    圖1

    A.f(x)=2xB.f(x)=x3

    13.已知實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-5ab+4b2=19,求a2+b2的最大值.

    15.已知a1=7;當(dāng)n≥2時(shí),an表示7n的末兩位數(shù)字之和.求a1+a2+a3+…+a2019.

    16.已知銳角△ABC的外接圓的圓心為O,點(diǎn)O到直線BC,CA,AB的距離分別為k,m,n.若BC=a,CA=b,AB=c,則k∶m∶n=( ).

    C.sinA∶sinB∶sinCD.cosA∶cosB∶cosC

    17.定義平面上的兩點(diǎn)(m,n),(a,b)的折線距離d=|m-a|+|n-b|.若坐標(biāo)平面上的點(diǎn)P到六個(gè)點(diǎn)(-1,2),(3,1),(3,5),(-2,4),(4,4),(6,6)的折線距離之和最小,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

    18.若集合A={(x,y)|y≥x2},B={(x,y)|x2+(y-a)2≤1},則A∩B=B的充要條件是( ).

    20.請(qǐng)寫出命題“單調(diào)函數(shù)不是周期函數(shù)”的否命題、逆命題、逆否命題.

    21.若C是以O(shè)為圓心、r為半徑的圓周,兩點(diǎn)P、P*在以O(shè)為起點(diǎn)的射線上,并且滿足|OP|·|OP*|=r2,則稱P、P*關(guān)于圓周C對(duì)稱.那么,雙曲線x2-y2=1上的點(diǎn)P(x,y)關(guān)于單位圓周C:x2+y2=1的對(duì)稱點(diǎn)P*所滿足的方程是( ).

    A.x2-y2=x4+y4B.x2-y2=(x2+y2)2

    C.x2-y2=2(x4+y4) D.x2-y2=2(x2+y2)2

    22.在邊長為1的正六邊形ABCDEF中,記以A為起點(diǎn),其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為a1,a2,a3,a4,a5;以D為起點(diǎn),其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為d1,d2,d3,d4,d5.若m,M分別為(ai+aj+ak)·(dr+ds+dt)的最小值與最大值,其中{i,j,k}?{1,2,3,4,5},{r,s,t}?{1,2,3,4,5},則( ).

    A.m=0,M>0 B.m<0,M>0

    C.m<0,M=0 D.m<0,M<0

    圖2

    24.已知a>b>c,a+b+c=0,直線y=-bx與拋物線y=ax2+bx+c交于A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)A,B在x軸上的射影分別為A1,B1,則當(dāng)a,b,c變化時(shí),|A1B1|的取值范圍是( ).

    25.已知集合A?{1,2,3,…,2000},且集合A中的任意一個(gè)元素均不是另一個(gè)元素的5倍,求集合A的元素個(gè)數(shù)的最大值.

    26.在與水平地面垂直的墻壁上掛有一幅矩形畫,畫的上、下邊緣分別在觀察者水平視線上方am和bm處.若要使觀察者的視角最大,則觀察者與墻壁的距離是( ).

    參考答案

    又因?yàn)閘g(log310)=-lg(lg3),所以

    f(lg(log310))+f(lg(lg3))=5+f(lg(lg3))=8,

    f(lg(lg3))=3.

    注本題即2007年復(fù)旦大學(xué)千分考第75題.

    2.由題設(shè),可得0logatanθ>0,x

    再由0

    注本題與2012年卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)試題第3題實(shí)質(zhì)相同,這道題是:

    圖3

    綜上所述,可得所求當(dāng)a=0時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-6)∪(6,+∞).

    即a<-6.

    即a>6.

    因而所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-6)∪(6,+∞).

    注本題就是2008年高考上海卷理科第11題.

    4.可設(shè)z=cosθ+isinθ(0≤θ<2π),因而方程z2-2az+a2-a=0即

    [(cosθ-a)2-sin2θ-a]+2isinθ(cosθ-a)=0,

    (cosθ-a)2-sin2θ-a=sinθ(cosθ-a)=0。

    進(jìn)而可得下面的三種情形:

    由題設(shè)可得它們均是正根,所以0

    6.由題設(shè),可得

    再由題設(shè),可得

    n-m=m=3k(k∈N*).

    所以n-m的最小值是3.

    7.解法1 由題設(shè)及數(shù)學(xué)歸納法,可證得xn>0(n∈N*),所以

    若xn∈Z,可得3(n-4)/3∈N*,進(jìn)而可得所求n的最小值是4.

    解法2 由題設(shè),可得

    x3=(33-2/3)31/3=33-1/3,x3?Z;x4=(33-1/3)31/3=1,x4∈Z.

    因而所求n的最小值是4.

    8.可得

    所以

    9.解法1 由均值不等式,可得

    把它們相加后,可得

    進(jìn)而可得答案.

    當(dāng)x,y,z均是正數(shù)時(shí):

    x2+y2sin2θ≥2xysinθ(當(dāng)且僅當(dāng)x=ysinθ時(shí)取等號(hào)),

    y2cos2θ+z2≥2yzcosθ(當(dāng)且僅當(dāng)ycosθ=z時(shí)取等號(hào)).

    把它們相加,得

    x2+y2+z2≥2(xysinθ+yzcosθ)(當(dāng)且僅當(dāng)x∶y∶z=sinθ∶1∶cosθ時(shí)取等號(hào)).

    當(dāng)x,y,z均是負(fù)數(shù)時(shí),也可得上述結(jié)論成立.

    所以由三元均值不等式,可得

    注本題即2011年華約自主招生試題第9題,與2016年北京大學(xué)全國優(yōu)秀中學(xué)生暑期夏令營數(shù)學(xué)試題第7題也實(shí)質(zhì)相同.

    11.A.由凸函數(shù)的定義可知,其圖象下凸,進(jìn)而可得答案.

    12.由|z1|=4知,可設(shè)z1=4cosθ+4isinθ.

    13.解法1由題設(shè),可得

    解法2由題設(shè),可得

    14.解法1 如圖4所示,設(shè)△ABC的內(nèi)切圓⊙O(其半徑為r)與三邊AB,BC,CA分別切于點(diǎn)D,E,F.由切線長定理,可設(shè)AD=AF=u,BD=BE=v,CE=CF=w.

    圖4

    由海倫公式,可得

    所以

    解法2 由題設(shè)及正弦定理,可得

    sinA+sinC=3sinB,

    注本題即2010年華約自主招生試題第5題.

    15.由7n+4-7n=7n(74-1)=100·24·7n,可得7n+4與7n的末兩位數(shù)相同,這里n∈N*,約定71的末兩位數(shù)是07即7.

    進(jìn)而可得{an}是周期數(shù)列且一個(gè)周期是4,還可得a1=7,a2=13,a3=7,a4=1,所以

    a1+a2+a3+…+a2019+a2020=505(a1+a2+a3+a4)=505(7+13+7+1)=14140.

    又因?yàn)閍2020=a4=1,所以a1+a2+a3+…+a2019=14139.

    16.D.設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,三邊長分別為a,b,c,外心O到三邊a,b,c的距離分別是k,m,n,可得2S△OAB=R2sin2C=cn=2RnsinC,n=RcosC,…所以k∶m∶n=cosA∶cosB∶cosC.

    注對(duì)于任意△ABC,相應(yīng)的結(jié)論是k∶m∶n=|cosA|∶|cosB|∶|cosC|.

    證明如下:當(dāng)C是鈍角時(shí),可得

    2S△OAB=R2sin(2π-2C)=-R2sin2C

    =-2R2sinCcosC=cn=2RncosC,

    n=-RcosC=R|cosC|.

    進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

    本題即2012年北約自主招生數(shù)學(xué)試題第4題.

    17.(3,4).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),可得點(diǎn)P到題中六個(gè)點(diǎn)的折線距離之和

    L=(|x+2|+|x+1|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|)+(|y-1|+|y-2|+2|y-4|+|y-5|+|y-6|).

    由零點(diǎn)討論法,可得

    對(duì)于函數(shù)

    f(x)=|x+2|+|x+1|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|,

    當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí),f(x)取到最小值.

    對(duì)于函數(shù)

    g(y)=|y-1|+|y-2|+2|y-4|+|y-5|+|y-6|,

    當(dāng)且僅當(dāng)y=4時(shí),g(y)取到最小值.

    進(jìn)而可得答案.

    注本題與下面的一道高考題如出一轍:

    (2009上海高考理科第13題)某地街道呈現(xiàn)東—西、南—北向的網(wǎng)格狀,相鄰街距都為1.兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn).若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系,現(xiàn)有下述格點(diǎn)(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)為報(bào)刊零售點(diǎn).請(qǐng)確定一個(gè)格點(diǎn)(除零售點(diǎn)外)____為發(fā)行站,使6個(gè)零售點(diǎn)沿街道到發(fā)行站之間路程的和最短.(答案:(3,3).)

    18.B.通過畫圖可知,題設(shè)即B?A,也即圓x2+(y-a)2=1在拋物線y=x2內(nèi)(拋物線內(nèi)指含焦點(diǎn)的區(qū)域,因而a≥1).

    進(jìn)而可得題設(shè)即拋物線y=x2上的任意一點(diǎn)(t,t2)均不在圓x2+(y-a)2=1內(nèi),也即t2+(t2-a)2≥1(t∈R),

    19.解法1 可先用數(shù)學(xué)歸納法證得an>0(n∈N*),因而

    解法2 可先用數(shù)學(xué)歸納法證得an>0(n∈N*),進(jìn)而可得題設(shè)中的遞推式即

    再由an>0(n∈N*),可得

    20.逆命題:若一個(gè)函數(shù)不是周期函數(shù),則它是單調(diào)函數(shù);

    否命題:若一個(gè)函數(shù)不單調(diào),則它是周期函數(shù);

    逆否命題:若一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù),則它不是單調(diào)函數(shù).

    令x=x0t,y=y0t,得

    x2-y2=(x2+y2)2.

    此即點(diǎn)Pn的軌跡方程.

    注本題即2010年復(fù)旦大學(xué)千分考第140題.

    22.D.如圖5所示,線段AD是正六邊形ABCDEF的主對(duì)角線.

    圖5

    在所有的ap·dq(p,q∈{1,2,3,4,5})中,只有a1·d5與a5·d1為正數(shù),且在所有的|ap·dq|(p,q∈{1,2,3,4,5})中,最小的是|a1·d5|與|a5·d1|,所以(ai+aj+ak)·(dr+ds+dt)的展開式的9項(xiàng)之和是負(fù)數(shù),所以題中的最大值M<0,進(jìn)而可得答案是D.

    23.C.如圖6所示建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,其中點(diǎn)C在x軸的正半軸上,點(diǎn)D在坐標(biāo)平面xOy內(nèi).

    圖6

    可設(shè)A(3a,3b,3c)(c>0),C(3d,0,0)(d>0),D(3e,3f,0),進(jìn)而可得E(a,b,c),F(a+2d,b,c),G(a+2e,b+2f,c),再求得平面BCG,CDE,DBF的方程分別是cy-(b+2f)z=0,cfx+c(d-e)y+(be+3df-af-bd)z-3cdf=0,cfx-cey+(be-af-2df)z=0.

    25.可得所求答案是

    26.B.如圖7所示建立平面直角坐標(biāo)系xOy,設(shè)畫的上、下邊緣分別是點(diǎn)B,A,|OB|=a,|OA|=b,本題即在x軸的正半軸上尋找一點(diǎn)C,使得∠ACB最大.

    圖7

    如圖7所示,過點(diǎn)A,B作一個(gè)圓與x軸相切(切點(diǎn)C在x軸的正半軸上),則點(diǎn)C即為所求的最大值點(diǎn)(參見圖7,用平面幾何中圓的知識(shí)極易獲證此結(jié)論).

    也可這樣求解(參見圖7):設(shè)點(diǎn)C在x軸的正半軸上,|OC|=x(x>0),可得

    注本題與下面的一道高考題實(shí)質(zhì)相同:

    圖8

    (1986年全國高考理科第19題)如圖8,在平面直角坐標(biāo)系中,在y軸的正半軸(坐標(biāo)原點(diǎn)出外)上給定兩點(diǎn)A、B.試在x軸的正半軸(坐標(biāo)原點(diǎn)出外)上求點(diǎn)C,使∠ACB取得最大值.

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